Exercícios Resolvidos de Teorema de Laplace

Ver Teoria

Enunciado

Encontre o determinante da matriz expandindo em cofatores ao longo da primeira linha:

A = 3 1 0 - 2 - 4 3 5 4 - 4

Passo 1

Bora dificultar esse negócio? Hahahah ...

Brincadeira galerinha, vamos é facilitar!!

Para calcular um determinante usando o Teorema de Laplace vamos escolher uma linha ou coluna qualquer, de preferência a que tenha mais zeros, e usar a seguinte relação:

A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33             ∴           det ⁡ A = a 11 C 11 + a 12 C 12 + a 13 C 13

Usei aqui os elemento da primeira linha, porque o problema pediu isso, certo?

Agora vamos substituir?

A = 3 1 0 - 2 - 4 3 5 4 - 4             ∴           det ⁡ A = 3 . C 11 + 1 . C 12 + 0 . C 13

det ⁡ A = 3 . C 11 + C 12

Então, só precisamos achar os cofatores C 11 e C 12 , ok?

Já sabemos que o cofator do elemento é calculado usando essa formulinha aqui:

C i j = - 1 i + j D i j  

Onde i representa a linha em que ele se encontra e j a sua coluna !!

Para o caso que estamos analisando:

C 11 = - 1 1 + 1 D 11             ∴           C 11 = D 11

C 12 = - 1 1 + 2 D 12             ∴           C 12 = - D 12

Passo 2

Para achar o menor complementar vamos excluir a linha e a coluna do elemento, ok?

Como o elemento é D 11 nós cortamos a linha 1 e a coluna 1 :

E com o que sobrou vamos montar um novo determinante:

D 11 = - 4 3 4 - 4

E agora sim vamos resolver este determinante que já é bem mais simples! Para isso multiplicamos os números presentes sobre a diagonal vermelha e azul:

E o determinante é o valor da direita (vermelho) menos o da esquerda (azul):

D 11 = 16 - 12

D 11 = 4

Então:

C 11 = 4

E assim achamos um dos cofatores !!

Passo 3

Para o elemento D 12 nós cortamos a linha 1 e a coluna 2 :

E com o que sobrou vamos montar um novo determinante:

D 12 = - - 2 3 5 - 4

E agora sim vamos resolver este determinante que já é bem mais simples! Para isso multiplicamos os números presentes sobre a diagonal vermelha e azul:

E o determinante é o valor da direita (vermelho) menos o da esquerda (azul):

D 12 = 8 - 15

D 12 = -   7

Então, como C 12 =   - D 12 :

C 12 = 7

E agora vamos colocar no determinante?

det ⁡ A = 3 .   C 11 + C 12

det ⁡ A = 3 . 4 + 7

det ⁡ A = 19

Legal, não foi ?!

Resposta

det ⁡ A = 19