Exercícios Resolvidos de Teorema de Laplace

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Enunciado

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Encontre o determinante da matriz expandindo em cofatores.

Passo 1

Já sabemos como calcular os determinantes, certo?

Então o primeiro passo será escolher qual linha ou coluna vamos utilizar !! Vamos escolher aquela que possui mais zeros, para facilitar nossa vida, ok?

Olhando a cara dessa matriz aquela sequência de zeros na primeira linha é tentadora não é? Então vai ser essa linha mesma que a gente vai escolher!!

Vamos dar uma olhada como ficaria este determinante?

  det ⁡ A = a 11 C 11 + a 12 C 12 + a 13 C 13 + a 14 C 14

Agora vamos substituir?

A =             ∴           det ⁡ A = 0 . C 11 + 0 . C 12 + 0 . C 13 - 3 . C 14

det ⁡ A = - 3 . C 14

Então, precisamos achar o cofator C 14 , ok? Viu que escolher aquela primeira linha reduziu muuuuito o nosso trabalho?

Já sabemos que o cofator do elemento é calculado usando uma fórmula bem tranquilinha:

C i j = - 1 i + j D i j  

Onde i representa a linha em que ele se encontra e j a sua coluna !!

Para o caso que estamos analisando:

C 14 = - 1 1 + 4 D 14             ∴           C 14 = - D 14

Passo 2

Para achar o menor complementar vamos excluir a linha e a coluna do elemento, ok?

Como o elemento é D 14 nós cortamos a linha 1 e a coluna 4 :

E com o que sobrou vamos montar um novo determinante (eu já estou colocando o sinal de menos ali na frente pois vai adiantar um pouco o nosso trabalho):

- D 14 = - 1 2 3 - 1 3 2 2 1 - 2

E agora sim vamos resolver este determinante que já é bem mais simples! Para isso vamos adicionar ao lado dessa matriz a primeira e a segunda coluna:

- D 14 = - 1 2 3 - 1 3 2 2 1 - 2 1 2 - 1 3 2 1

Agora multiplicamos os números presentes sobre a diagonal vermelha e azul:

E para achar o determinante somamos os valores da direita (vermelho) e substraímos pela soma dos elementos da esquerda (azul):

- D 14 = - - 6 + 8 - 3 - 18 + 2 + 4

- D 14 = - - 1 - 24

- D 14 = - - 25

- D 14 = 25

Então:

C 14 = 25

Achando o determinante:

det ⁡ A = - 3   .   25

det ⁡ A = - 75

E assim achamos o determinante !!

Resposta

det ⁡ A = - 75