Exercícios Resolvidos de Teorema de Laplace

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Enunciado

Encontre o determinante da matriz expandindo em cofatores ao longo da primeira coluna:

A = 3 1 0 - 2 - 4 3 5 4 - 4

Passo 1

Na questão anterior achamos o determinante desta mesma matriz, mas usando a primeira linha, certo?

Agora nós vamos usar a coluna para vocês observarem como obtemos o mesmo valor, ok?! ver que vocês

Vamos dar uma olhada como ficaria este determinante?

A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33             ∴           det ⁡ A = a 11 C 11 + a 21 C 21 + a 31 C 31

Usei aqui os elemento da primeira coluna, porque o problema pediu isso, certo?

Agora vamos substituir?

A = 3 1 0 - 2 - 4 3 5 4 - 4             ∴           det ⁡ A = 3 . C 11 - 2 . C 21 + 5 . C 31

Então, precisamos achar os cofatores C 11 , C 21 e C 31 , ok?

Já sabemos que o cofator do elemento é calculado usando uma fórmula bem tranquilinha:

C i j = - 1 i + j D i j  

Onde i representa a linha em que ele se encontra e j a sua coluna !!

Para o caso que estamos analisando:

C 11 = - 1 1 + 1 D 11             ∴           C 11 = D 11

C 21 = - 1 2 + 1 D 21             ∴           C 21 = - D 21

C 31 = - 1 3 + 1 D 31             ∴           C 31 = D 31

Passo 2

Para achar o menor complementar vamos excluir a linha e a coluna do elemento, ok?

Como o elemento é D 11 nós cortamos a linha 1 e a coluna 1 :

E com o que sobrou vamos montar um novo determinante:

D 11 = - 4 3 4 - 4

E agora sim vamos resolver este determinante que já é bem mais simples! Para isso multiplicamos os números presentes sobre a diagonal vermelha e azul:

E o determinante é o valor da direita (vermelho) menos o da esquerda (azul):

D 11 = 16 - 12

D 11 = 4

Então:

C 11 = 4

E assim achamos um dos cofatores !!

Passo 3

Para o elemento é D 21 nós cortamos a linha 2 e a coluna 1 :

E com o que sobrou vamos montar um novo determinante:

D 21 = 1 0 4 - 4

Para resolver o determinante multiplicamos os números presentes sobre a diagonal vermelha e azul (aqui eu já multipliquei todo mundo por - 1 pois vamos precisar desse carinha com um menos na frente logo logo):

E o determinante é o valor da direita (vermelho) menos o da esquerda (azul):

-   D 21 =   - - 4 - 0 =   - ( - 4 )

-   D 21 =   4

Então, como C 21 =   - D 21 :

C 21 = 4

Passo 4

Para o elemento é D 31 nós cortamos a linha 3 e a coluna 1 :

E com o que sobrou vamos montar um novo determinante:

D 31 = 1 0 - 4 3

Para resolver o determinante multiplicamos os números presentes sobre a diagonal vermelha e azul:

E o determinante é o valor da direita (vermelho) menos o da esquerda (azul):

D 31 = 3 - 0

D 31 = 3

Então:

C 31 = 3

E agora vamos colocar no determinante?

det ⁡ A = 3 . C 11 - 2 . C 21 + 5 . C 31

det ⁡ A = ( 3.4 ) - ( 2.4 ) + ( 5.3 )

det ⁡ A = 12 - 8 + 15

det ⁡ A = 19

E chegamos à resposta final! Ebaaa!!

Deu um trabalhinho essa, né? Isso foi por que o exercício já mandava a gente escolher uma coluna ruim. Sempre é mais fácil escolher a coluna que tenha mais zeros!

Vamos para a próxima

Resposta

det ⁡ A = 19