Exercícios Resolvidos de Teorema de Laplace

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Enunciado

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Encontre o determinante da matriz expandindo em cofatores.

Passo 1

Já sabemos como calcular os determinantes, certo?

Então o primeiro passo será escolher qual linha ou coluna vamos utilizar !! Vamos escolher aquela que possui mais zeros, para facilitar nossa vida, ok?

Então, escolhemos a coluna 2 , afinal, ela tem 3 zeros!!

Vamos dar uma olhada em como ficaria este determinante?

  det ⁡ A = a 12 C 12 + a 22 C 22 + a 32 C 32 + a 42 C 42

Agora vamos substituir?

A =             ∴           det ⁡ A = 0 . C 12 + 1 . C 22 + 0 . C 32 + 0 . C 42

det ⁡ A = C 22

Então, precisamos achar o cofator C 22 , ok?

Já sabemos que o cofator do elemento é calculado usando uma fórmula bem tranquilinha:

C i j = - 1 i + j D i j  

Onde i representa a linha em que ele se encontra e j a sua coluna !!

Para o caso que estamos analisando:

C 22 = - 1 2 + 2 D 22             ∴           C 22 = D 22

Passo 2

Para achar o menor complementar vamos excluir a linha e a coluna do elemento, ok?

Como o elemento é D 22 nós cortamos a linha 2 e a coluna 2 :

E com o que sobrou vamos montar um novo determinante:

D 22 = 1 0 - 1 1 - 2 1 2 0 1

E agora sim vamos resolver este determinante que já é bem mais simples! Para isso vamos adicionar ao lado dessa matriz a primeira e a segunda coluna:

D 22 = 1 0 - 1 1 - 2 1 2 0 1 1 0 1 - 2 2 0

Agora multiplicamos os números presentes sobre a diagonal vermelha e azul:

E para achar o determinante somamos os valores da direita (vermelho) e substraímos pela soma dos elementos da esquerda (azul):

D 22 = - 2 + 0 + 0 - 4 + 0 + 0

D 22 = - 2 - 4

D 22 = - 6

Então:

C 22 = - 6

Achando o determinante:

det ⁡ A = - 6

E assim achamos a nossa resposta !!

Resposta

det ⁡ A = - 6