Exercícios Resolvidos de Teorema de Laplace

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Enunciado

Seja

A =

Encontre o determinante da matriz expandindo em cofatores.

Passo 1

Já sabemos como calcular os determinantes, certo?

Então o primeiro passo será escolher qual linha ou coluna vamos utilizar !! Vamos escolher aquela que possui mais zeros, para facilitar nossa vida, ok?

Vamos optar pela terceira linha? É um bom plano... tem dois zeros ali, acho que serve!

Vamos dar uma olhada como ficaria este determinante?

  det ⁡ A = a 31 C 31 + a 32 C 32 + a 33 C 33 + a 34 C 34

Agora vamos substituir?

A =             ∴           det ⁡ A = 3 . C 31 + 5 . C 32 + 0 . C 33 + 0 . C 34

det ⁡ A = 3 . C 31 + 5 . C 32

Então, precisamos achar os cofatores C 31 e C 32 , ok?

Já sabemos que o cofator do elemento é calculado usando uma fórmula bem tranquilinha:

C i j = - 1 i + j D i j  

Onde i representa a linha em que ele se encontra e j a sua coluna !!

Para o caso que estamos analisando:

C 31 = - 1 3 + 1 D 31             ∴           C 31 = D 31

C 32 = - 1 3 + 2 D 32             ∴           C 32 = - D 32

Passo 2

Para achar o menor complementar vamos excluir a linha e a coluna do elemento, ok?

Como o elemento é D 31 nós cortamos a linha 3 e a coluna 1 :

E com o que sobrou vamos montar um novo determinante:

D 31 = 2 - 1 - 2 3 4 1 2 3 1

E agora sim vamos resolver este determinante que já é bem mais simples! Para isso vamos adicionar ao lado dessa matriz a primeira e a segunda coluna:

D 31 = 2 - 1 - 2 3 4 1 2 3 1 2 - 1 3 4 2 3

Agora multiplicamos os números presentes sobre a diagonal vermelha e azul:

E para achar o determinante somamos os valores da direita (vermelho) e substraímos pela soma dos elementos da esquerda (azul):

D 31 = 8 - 2 - 18 - - 16 + 6 - 3

D 31 = - 12 - - 13

D 31 = 1

Passo 3

Como o elemento é D 32 nós cortamos a linha 3 e a coluna 2 :

E com o que sobrou vamos montar um novo determinante (aqui eu já multipliquei tudo por menos pois vai ajudar a gente mais para frente):

- D 32 = - 1 - 1 - 2 0 4 1 - 1 3 1

E agora sim vamos resolver este determinante que já é bem mais simples! Para isso vamos adicionar ao lado dessa matriz a primeira e a segunda coluna:

- D 32 = - 1 - 1 - 2 0 4 1 - 1 3 1 1 - 1 0 4 - 1 3

Agora multiplicamos os números presentes sobre a diagonal vermelha e azul:

E para achar o determinante somamos os valores da direita (vermelho) e substraímos pela soma dos elementos da esquerda (azul):

- D 32 = - 4 + 1 + 0 - 8 + 3 + 0

- D 32 = - 5 - 11

- D 32 = 6

Então, como C 32 =   - D 32 :

C 32 = 6

Achando o determinante:

det ⁡ A = ( 3   .   1 ) + ( 5   .   6 )

det ⁡ A = 3 + 30

det ⁡ A = 33

E assim achamos o determinante !!

Resposta

det ⁡ A = 33