Exercícios Resolvidos de Teorema do Deslocamento

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Enunciado

Calcule L g t ( s ) , onde

g t = e 2 t sen ⁡ ( 3 t ) - sen ⁡ ( 2 t )

Passo 1

Faaaala aii, tudo bem? Nessa questão nós queremos:

L e 2 t sen ⁡ ( 3 t ) - sen ⁡ ( 2 t ) s = L e 2 t sen ⁡ ( 3 t ) s - L e 2 t sen ⁡ ( 2 t ) ( s )

Então, vamos aplicar a seguinte fórmula:

e c t f t s = L f t ( s - c )

Nesse caso, temos, para a primeira transformada, f t = sen ⁡ ( 3 t ) e, para segunda, f t = sen ⁡ ( 2 t ) .

Onde,

c = 2

Então, podemos escrever o seguinte:

L g t s = L sen ⁡ ( 3 t ) s - 2 - L sen ⁡ ( 2 t ) ( s - 2 )

Passo 2

Agora vamos calcular essas transformadas começando pela primeira:

L sen ⁡ ( 3 t ) s - 2

Sabemos o seguinte:

L sen ⁡ ( a t ) s = a s 2 + a 2

a = 3

Logo,

L sen ⁡ ( 3 t ) s = 3 s 2 + 3 2 = 3 s 2 + 9

Mas não queremos a transformada em s , queremos em ( s - 2 ) , não é? Então, basta substituir s por ( s - 2 ) na equação;

L sen ⁡ ( 3 t ) s - 2 = 3 s - 2 2 + 9 = 3 ( s 2 - 4 s + 4 ) + 9 = 3 s 2 - 4 s + 13

Passo 3

Beleza, agora vamos fazer o mesmo para a outra transformada:

L sen ⁡ ( 2 t ) s = 2 s 2 + 2 2 = 2 s 2 + 4

Mudando s para ( s - 2 ) , temos:

L sen ⁡ ( 2 t ) s - 2 = 2 s - 2 2 + 4 = 2 ( s 2 - 4 s + 4 ) + 4 = 2 s 2 - 4 s + 8

Passo 4

Agora basta juntar os valores que encontramos:

L g t s = L sen ⁡ ( 3 t ) s - 2 - L sen ⁡ ( 2 t ) ( s - 2 )

L g t s = 3 s 2 - 4 s + 13 - 2 s 2 - 4 s + 8

Resposta

3 s 2 - 4 s + 13 - 2 s 2 - 4 s + 8