Exercícios Resolvidos de Teorema do Deslocamento

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Enunciado

Calcule as transformadas de Laplace das seguintes funções de t :

e t d 100 e - t t 100 d t 100

Passo 1

Vamos calcular agora:

L e t d 100 e - t t 100 d t 100

Temos que lembrar aqui que a exponencial vai atuar deslocando a transformada do que ela está multiplicando:

L e a t f t = L f t s - a

Neste caso, temos que: f t = d 100 e - t t 100 d t 100

Então vamos calcular a transformada:

L d 100 e - t t 100 d t 100 s

Para isso, precisamos lembrar da transformada de uma derivada, de forma geral:

L d n g t d s n = s n L g t - s n - 1 g ' 0 … - s g n - 2 0 - g n - 1 0

Vamos calcular esses termos para o que nós temos. Para g t = e - t t 100 :

L g t = L e - t t 100 = L t 100 s + 1

Como:

L t n = n ! s n + 1

Temos:

L t 100 s + 1 = 100 ! s + 1 101

OK, agora temos que calcular algumas as derivadas para entender o que acontece. Usando a regra do produto:

g ' t = e - t t 100 ' = - e - t t 100 + e - t ⋅ 100 ⋅ t 99

g ' ' t = - e - t t 100 + e - t ⋅ 100 ⋅ t 99 '

= e - t t 100 + e - t ⋅ 100 ⋅ t 99 - 100 e - t t 99 + 100 ⋅ 99 ⋅ e - t t 98

g ' ' ' t = e - t t 100 + 100 ⋅ 99 ⋅ e - t ⋅ t 98 '

= - e - t t 100 + e - t ⋅ 100 ⋅ t 99 - 100 ⋅ 99 ⋅ e - t ⋅ t 98 + 100 ⋅ 99 ⋅ 98 ⋅ e - t ⋅ t 97

Para não ter que fazer isso 100 vezes, vamos reparar que em todas as derivadas aparecem o t elevado a alguma coisa multiplicando tudo. De forma que o termo de menor grau multiplicando é, para cada derivada:

g ' t → t 99

g ' t → t 98

g ' ' ' t → t 97

Então, é natural supor que:

g n t → t 100 - n

Logo, temos, neste caso:

L d 100 g t d t 100 s = s 100 L g t - s 99 g ' 0 … - s g 98 0 - g 99 0

Todas as derivadas que aparecem tem todos os termos multiplicados por t de grau maior ou igual a 1 , logo, para t = 0 :

g ' 0 = g ' ' 0 = … = g 98 0 = g 99 0 = 0

E temos:

L d 100 e - t t 100 d t 100 s = s 100 ⋅ 100 ! s + 1 101

Então, temos que:

L e t d 100 e - t t 100 d t 100 = s + 1 100 ⋅ 100 ! s + 2 101

Pronto! Raciocínio meio chato, né? Eu admito, mas é isso aí. Boa sorte nos seus estudos

Resposta

L e t d 100 e - t t 100 d t 100 = s + 1 100 ⋅ 100 ! s + 2 101