Exercícios Resolvidos de Teorema do Deslocamento

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L { F   ( t ) } = f ( s ) = L { cosh ⁡ 2   t ( cos ⁡ 2 t ) }

Ou seja, a transformada de Laplace da função F ( t ) = c o s h 2 t cos ⁡ ( 2 t ) onde a função cosseno hiperbólico de t , cosh ⁡ t é assim definida por:

cosh ⁡ t = e t + e - t 2

(a)   s 2 - 8 s 4 + 64

(b) s 3 s 3 + 64

(c) s 2 + 8 s 4 +   64

(d)   s 4 s 4 + 64

(e) s 3 s 4 + 64

Passo 1

Opa, vamos lá. A questão quer que a gente calcule a transformada de Laplace para a nossa função:

F ( t ) = cosh ⁡ ( 2 t ) cos ⁡ ( 2 t )

Repara só que ela nos dá uma dica:

cosh ⁡ t = e t + e - t 2

Logo,

cosh ⁡ 2 t = e 2 t + e - 2 t 2

Consegue perceber isso? Simplesmente troque os t por 2 t .

Vamos substituir isso na nossa função, que ficará:

F t = e 2 t + e - 2 t 2 c o s 2 t

Fazemos então a distributiva, e chegamos nesse resultado abaixo

1 2 ( e 2 t cos ⁡ 2 t + e - 2 t cos ⁡ 2 t )

Observa como temos dois termos em que podemos aplicar o teorema do deslocamento...lindo, né? Bora lá então

Bom, Primeiramente, como estamos multiplicando por uma exponencial, sabemos que vamos começar ignorando o exponencial, certo? E fazemos a transformada só do outro termo.

Por tabela, sabemos que a transformada do cos ⁡ b t   é

cos ⁡ b t → s s 2 + b 2

TRANQUILO, né? Agora, vamos substituir o s por ( s - a ) onde a é o termo dentro da exponencial, simples assim!

Então teremos

s s 2 + b 2 → s - a ( s - a ) 2 + b

A função que queremos a transformada é

1 2 ( e 2 t cos ⁡ 2 t + e - 2 t cos ⁡ 2 t )

Podemos então separar assim

1 2 L 1 e 2 t cos ⁡ 2 t + L 2 e - 2 t cos ⁡ 2 t

Para a primeira teremos a 1 = 2   e   b 1 = 2 ,   já para a segunda teremos a 2 = - 2 e b 2 = 2 , agora vai ser só substituir.

1 2 s - a 1 s - a 1 2 + b 1 + s - a 2 s - a 2 2 + b 2

L F t = 1 2 s - 2 s - 2 2 + 2 2 + s + 2 s + 2 2 + 2 2

Bom, juntando essas frações, teremos (fazendo umas continhas chatas):

L F t = 1 2 s - 2   s + 2 2 + 2 2 + s + 2 s - 2 2 + 2 2 ( s - 2 2 + 2 2 ) ( s + 2 2 + 2 2 )

L F t = 1 2 s - 2 s + 2 s + 2 + s - 2 + 4 s - 2 + 4 s + 2 s - 2 2 + 2 2 s + 2 2 + 2 2

= 1 2 2 s 3 s - 2 2 + 2 2 s + 2 2 + 2 2  

L F t = 1 2 2 s 3 s 4 + 64

L F t = s 3 s 4 + 64

Minha dica pra você aqui é, fazer as contas devagar, assim como eu, passo a passo, sem pressa...diminui muito suas chances de erro.

Resposta

b   L F t = s 3 s 4 + 64