Exercícios Resolvidos de Teorema do Deslocamento

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Enunciado

Determine a transformada de Laplace da função f ( t )   =   e t s e n 2 ( 2 t )  

Passo 1

Opaa, vamos lá! A questão quer que a gente calcule a transformada de Laplace da função:

f ( t )   =   e t s e n 2 ( 2 t )

Pra começar, vamos lembrar que se:

s e n 2 t = 1 - cos ⁡ 2 t 2

Aí você me pergunta: “Amigo, como eu resolvo se eu não lembrar dessa relação trigonométrica?” Eu te digo, não faz. Tem que lembrar. E como faz pra lembrar? Fazendo muito exercício! Quanto mais exercício você faz, esses detalhes vemesses detalhes vêm automaticamente. Confia em mim

Então:

s e n 2 2 t = 1 - cos ⁡ 4 t 2

Daí a gente pode aplicar a distributiva com e t e ficar com a função reescrita:

f t = 1 2 e t - 1 2 e t cos ⁡ 4 t

E a transformada vai ser:

L f t = L 1 2 e t - 1 2 e t cos ⁡ 4 t

L f t = 1 2 ∙ L e t - 1 2 ∙ L e t cos ⁡ 4 t

Passo 2

Agora, vamos olhar na tabela de transformadas de Laplace qual função mais se parece com o as que a gente quer.

Bem, pra primeira transformada, pela tableatabela, como temos a = - 1 , vamos ficar com:

1 2 ∙ L e t = 1 2 s - 1 = 1 2 s - 2

E pro outro carinha, primeiramente, como estamos multiplicando por uma exponencial, sabemos que vamos começar ignorando o exponencial, certo? E fazemosndo a transformada só do outro termo.

Por tabela, sabemos que a transformada do cos ⁡ b t   é

cos ⁡ b t → s s 2 + b 2

TRANQUILO, né? Agora, vamos substituir o s por ( s - a ) onde a é o termo dentro da exponencial, simples assim!

Então teremos

s s 2 + b 2 → s - a ( s - a ) 2 + b

Como estamos trabalhando com 1 2 ∙ L e t cos ⁡ 4 t , temos b = 4 e a = 1 , ficamos entãçao com

L e t cos ⁡ 4 t = s - 1 s - 1 2 + 32

Ainda temos que lembrar de multiplicar por 1 2 já que queremos 1 2 ∙ L e t cos ⁡ 4 t

1 2 ∙ L e t cos ⁡ 4 t = s - 1 2 s - 1 2 + 32

Juntando os dois termos, teremos:

L f t = 1 2 s - 2 - s - 1 2 s - 1 2 + 32

Resposta

L f t = 1 2 s - 2 - s - 1 2 s - 1 2 + 32