Exercícios Resolvidos de Teorema do Deslocamento

Ver Teoria

Enunciado

Calcule as transformadas de Laplace das seguintes funções de t :

e - 3 t 9 - 2 t + 10 cos ⁡ t 3

Passo 1

Vamos aplicar a transformada em:

e - 3 t 9 - 2 t + 10 cos ⁡ t 3

Primeiro vamos aplicar a transformada em cada parcela, assim:

L e - 3 t 9 - 2 t + 10 cos ⁡ t 3 = L 9 e - 3 t - L 2 e - 3 t t + L 10 e - 3 t cos ⁡ t 3

Colocando as constantes para fora:

L e - 3 t 9 - 2 t + 10 cos ⁡ t 3 = 9 L e - 3 t - 2 L e - 3 t t + 10 L e - 3 t cos ⁡ t 3

Agora o que vamos fazer é resolver um termo de cada vez.

Passo 2

Para o primeiro termo:

9 L e - 3 t

Vamos usar,

L [ e a t ] = 1 s - a

Logo,

a = - 3

E,

9 L e - 3 t = 9 × 1 s - ( - 3 ) = 9 s + 3

Passo 3

Para o segundo termo:

2 L e - 3 t t

Vamos deixar a exponencial de lado e resolver apenas para t .

2 L t

Vamos usar,

L t n s = n ! s n + 1

n = 1

Ou seja,

2 L t = 2 × 1 s 1 + 1   = 2 s 2

Passo 4

Agora, vamos analisar quem é o “ a ” da exponencial. Comparando com:

L [ e a t ] = 1 s - a

Temos que:

a = - 3

Usando o deslocamento, o que era s na resposta do 2 L t , agora irá virar s - a :

2 L e - 3 t t = 2 ( s - - 3 ) 2 = 2 s + 3 2

Isso que fizemos foi aplicar a seguinte fórmula:

e c t f t s = L f t ( s - c )

Beleza?

Passo 5

Passo 6

Para o último termo:

10 L e - 3 t cos ⁡ t 3

Vamos usar o mesmo raciocínio do passo anterior. Onde, a princípio vamos ignorar a exponencial:

10 L cos ⁡ t 3 = 10 L cos ⁡ 1 3 t = 10 × s s 2 + 1 3 2 = 10 s s 2 + 1 9

Onde,

a = - 3

Então,

10 L e - 3 t cos ⁡ t 3 = 10 ( s + 3 ) ( s + 3 ) 2 + 1 9

Passo 7

Agora só precisamos juntar tudo:

L e - 3 t 9 - 2 t + 10 cos ⁡ t 3 = 9 L e - 3 t - 2 L e - 3 t t + 10 L e - 3 t cos ⁡ t 3

L e - 3 t 9 - 2 t + 10 cos ⁡ t 3 = 9 s + 3 - 2 s + 3 2 + 10 ( s + 3 ) ( s + 3 ) 2 + 1 9

Feshow! 😊

Resposta

L e - 3 t 9 - 2 t + 10 cos ⁡ t 3 = 9 s + 3 - 2 s + 3 2 + 10 ( s + 3 ) s + 3 2 + 1 9