Hélio é estrangulado de 1,2   M P a e 20   ° C até a pressão de 100   k P a . Os diâmetros do tubo de alimentação e descarga são tais que as velocidades de saída e entrada são iguais. Determine a temperatura de saída do hélio e a razão entre os diâmetros dos tubos.

Passo 1

O primeiro passo para resolver essa questão é saber por qual equipamento o hélio está passando para diminuir sua pressão. A resposta para isso é encontrada no enunciado, quando ele diz que o hélio é “estrangulado”. Quando o texto diz que uma substância está sendo estrangulada, ele quer dizer que ela está passando por uma restrição!

O exercício quer saber a temperatura T s do hélio saindo da restrição e a relação entre os diâmetros do tubo de entrada e saída D s / D e que estão conectados à restrição. Para encontrar esses valores, temos que entender todos os dados que o enunciado nos informa. A figura abaixo mostra esses dados.

T e é a temperatura do hélio entrando na restrição e T s é a temperatura do hélio saindo da restrição. P e é a pressão do hélio entrando na restrição e P s é a pressão do hélio saindo da restrição. ν e é a velocidade do hélio entrando na restrição e ν s é a velocidade do hélio saindo da restrição. D e é o diâmetro do tubo por onde o hélio passa para entrar na restrição e D s é o diâmetro do tubo por onde o hélio passa quando sai da restrição.

Agora que sabemos disso tudo vamos aprender a calcular a temperatura T s e a relação D s / D e nos próximos passos!

Passo 2

A gente encontra T s através equação da primeira lei para restrições que está abaixo.

h e = h s

Ela diz que a entalpia específica do gás hélio entrando na restrição h e é igual à entalpia específica do gás hélio saindo sa restrição h s .

Quando o gás hélio aparece em um exercício de termodinâmica, ele geralmente é um gás perfeito. Para um gás perfeito, a função de cálculo das entalpias h só depende da temperatura. Logo, para esse exercício, as entalpias h e e h s dependem só das temperaturas.

h e = h T e

h s = h T s

h T e = h T s

Para as duas entalpias serem iguais, o valor das temperaturas precisam ser iguais. Logo:

T s = T e

Agora vamos aprender a calcular D s / D e !

Passo 3

A razão D s / D e é encontrada através da equação de conservação de massa da restrição em regime permanente. Ela diz que a vazão mássica de entrada m ˙ e é igual à vazão mássica de saída m ˙ s . É importante lembrar também que essas vazões são iguais ao produto entra massa específica do hélio ρ , velocidade do hélio ν e área de passagem do hélio A .

ρ e   ⋅ A e ⋅ ν e = ρ s   ⋅ A s ⋅ ν s       ⟹       1 v e   ⋅ π ⋅ D e 2 4 ⋅ ν e = 1 v s   ⋅ π ⋅ D s 2 4 ⋅ ν s

onde v e e v s são os volumes específicos do hélio entrando e saindo da restrição respectivamente.

No entanto, o enunciado diz que as duas velocidades ν e e ν s devem ser iguais. Logo, elas podem ser cortadas dos dois lados da equação acima, assim como o π e o 4 !

1 v e   ⋅ π ⋅ D e 2 4 ⋅ ν e = 1 v s   ⋅ π ⋅ D s 2 4 ⋅ ν s       ⟹       1 v e   ⋅ D e 2 = 1 v s   ⋅ D s 2

Além disso, como o hélio é um gás perfeito, os volumes específicos v e e v s podem ser calculados pela equação de gás perfeito.

P e ⋅ v e T e = P s ⋅ v s T s

Como as duas temperatura são iguais, elas são cortadas dos dois lados da equação!

P e ⋅ v e = P s ⋅ v s       ⟹       v e = P s ⋅ v s P e

Substituindo isso na equação de conservação de massa, achamos:

1 v e   ⋅ D e 2 = 1 v s   ⋅ D s 2       ⟹       1 P s ⋅ v s P e   ⋅ D e 2 = 1 v s   ⋅ D s 2     ⟹   P e P s = D s 2 D e 2       ⟹   D s D e = P e P s

Agora que temos fórmulas para calcular todos os valores que queremos, vamos iniciar as contas!

Passo 4

T s = T e       ⟹       T s = 20   ° C

Antes de usar o valor de P e na fómula ele precisa estar na mesma unidade de P e k P a .

P e = 1,2   M P a = 1200   k P a

D s D e = P e P s       ⟹       D s D e = 1200 100       ⟹       D s D e = 3 , 464

Resposta

T s = 20   ° C

D s D e = 3 , 464

Exercícios Resolvidos de Turbinas e Restrições

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