Desejamos lançar uma espaçonave da superfície da Terra de modo que ela também escape do sistema solar. a) Calcule a velocidade relativa ao centro da Terra com a qual ela deve ser lançada. Considere os efeitos gravitacionais do Sol e da Terra e inclua o efeito da velocidade orbital da Terra, mas despreze a resistência do ar. b) A rotação da Terra pode auxiliar a atingir esta velocidade de escape. Calcule a velocidade que a espaçonave deve possuir em relação à superfície da Terra se a espaçonave for lançada da Flórida no ponto indicado na figura abaixo. A rotação da Terra em torno do seu eixo e seu movimento orbital em torno do Sol possuem o mesmo sentido de rotação. Em Cabo Canaveral um lançamento ocorre na latitude de
ao norte do equador. c) A European Space Agency (ESA) utiliza uma plataforma de lançamento na Guiana Francesa (imediatamente ao norte do Brasil), situada a ao norte do equador. Com que velocidade em relação à superfície da Terra deve uma espaçonave ser lançada da plataforma de lançamento na Guiana Francesa para que ela escape do sistema solar?
Passo 1
Vamos pensar juntos. O foguete vai pra bem longe do Sol, certo? Então a força gravitacional vai ser baixíssima, tendendo a zero. Sendo assim, a forma de calcular essa velocidade fica sendo a partir da energia, cujo valor é zero no infinito.
É fácil pensar desse jeito. É só analisar o enunciado, se o corpo está “fugindo” do Sol, velocidade calculada por energia. Se o corpo está do ladinho do Sol fielmente, velocidade calculada pela força resultante de rotação.
Passo 2
a)
Que comecemos os trabalhos com a conservação da energia.
A energia inicial vai ser a energia gravitacional da Terra mais a energia gravitacional do Sol mais a energia cinética resultado da velocidade.
Lembrando que é o raio da Terra e é o raio da orbita terrestre.
Dando aquela consultada no Google vemos que
Além disso
Como ele está na Terra e a terra está se movendo.
Passo 3
Repara que temos um detalhe a levar em consideração aqui, a translação da Terra.
Essa velocidade que achamos é a velocidade total, mas ele já possui uma velocidade inicial que é a da translação da terra, precisamos então subtrair essa velocidade. Primeiro vamos acha-la
Sabemos o tempo que a Terra demora pra dar uma volta ao redor do Sol, e sabemos o percurso então
Onde
Então
Passo 4
A velocidade de escape então vai ser
Passo 5
b)
Agora estamos levando em consideração a rotação da Terra também, então a velocidade vai ser um pouco menor de novo. Precisamos achar a velocidade de rotação da Terra e subtrair na velocidade que achamos no item a
Onde
Cuidado com um detalhe, ele não está no equador, está em um ponto com ângulo , a velocidade precisa ser corrigida, seria
Ele sai da Flórida então.
Encontramos então
Passo 6
A velocidade de escape vai ser
Passo 7
c)
Dessa vez ele sai da Guiana francesa então a velocidade de rotação ali vai ser
Encontramos então
Passo 8
A velocidade de escape vai ser