Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Vetor Gradiente e Derivada Direcional

Ver Teoria
Exercício 10123456789

Enunciado

Considere a função f x , y = x 2 sen ⁡ π x y . Para que a derivada direcional f u 1 ,   1 2 seja máxima, o ângulo que o vetor u deve formar com o eixo x é:

(a) 90 o

(b) 45 o

(c) 120 o

(d) 30 o

(e) 0 o

Passo 1

Olaaaa, vamos seguir com nossos estudos que jájá estamos acabando essa matéria, então vem comigoooo!

Bom, o crescimento é máximo no sentido do vetor gradiente.

Então para que f u 1 ,   1 2 seja máxima o vetor u tem que estar na mesma direção e sentido de ∇ f 1 , 1 2 .

Então vamos calcular esse gradiente! Para isso vamos precisar calcular as derivadas parciais,

∂ f ∂ x x , y = ∂ f ∂ x x 2 s e n π x y

Opa, vamos ter que usar a regra do produto derivando em relação a x , lembrando a regra do produto aqui rapidinho, temos que

a ⋅ b ' = a ' ⋅ b + b ' ⋅ a

x 2 s e n π x y ' = x 2 ' ⋅ s e n π x y + s e n π x y ' ⋅ x 2

Fazendo essas derivadas (usando a regra da cadeia), temos:

∂ f ∂ x x , y = 2 x . sen ⁡ π x y + x 2 . cos ⁡ ( π x y ) . π y

Agora, substituindo os valores que é dado no enunciado, temos:

⇒   ∂ f ∂ x 1 , 1 2 = 2 sen ⁡ π 2 + cos ⁡ π 2 . π 2 = 2.1 + 0 = 2

Show, vamos segurar esse resultado e partir para derivada em relação a y

Também temos:

∂ f ∂ y x , y = ∂ f ∂ y x 2 s e n π x y

Pra resolver essa derivada, vamos usar a regra da cadeia de novo, ficando com

x 2 . cos ⁡ π x y . π x = π x ³ c o s ⁡ ( π x y )

Show, substituindo pelo ponto do enunciado, temos:

⇒   ∂ f ∂ y 1 , 1 2 = π 1 3 cos ⁡ π 2

∂ f ∂ y 1 , 1 2 = π ⋅ 0 = 0

Logo:

∇ f 1 , 1 2 = 2,0

Passo 2

Portanto, o vetor u tem que ser paralelo ao vetor 2,0 . Então os dois vetores têm que fazer o mesmo ângulo com o eixo x !

Mas o vetor 2,0 é paralelo ao eixo x :

Ou seja, o ângulo entre o vetor 2,0 e o eixo x é 0 o .

Então o vetor u também vai ter que formar um ângulo de 0 o com o eixo x .

Resposta

Alternativa (e)