Seja a função
E o ponto . Determine:
- A direção na qual a taxa de variação de em é máxima.
- O valor dessa taxa de variação máxima.
Passo 1
E aiii! Vamos continuar nosso estudo?
A nossa questão pede, na letra , que a gente ache a direção na qual a taxa de variação no ponto é máxima, para isso a gente precisa calcular o nosso vetor gradiente no ponto
A gente já viu que o vetor gradiente é desse jeitão aqui
Ou pode ser escrito assim
Passo 2
Show, vamos começar calculando esse vetor gradiente, temos que a nossa função é
Vamos calcular
A gente calcula fazendo a derivada em relação a , então todo o resto pode ser considerado uma constante, então temos:
Como é considerado uma constante aqui, podemos dizer que
Passo 3
Beleza, agora vamos partir pra cima do
A gente calcula fazendo a derivada em relação a , então todo o resto pode ser considerado uma constante, então ficamos com
Como é considerado uma constante aqui, podemos dizer que
Tranquilinho?
Passo 4
Agora que achamos e , temos que o nosso vetor gradiente que é escrito assim
Vale
Mas ele não quer só o vetor gradiente, ele quer o vetor gradiente no ponto , que é ninguém mais ninguém menos que
Que ele deu no enunciado, ou seja ele quer isso aqui
E para isso é só substituirmos e no nosso vetor gradiente
Que é a mesma coisa que dizer:
Passo 5
Vamos partir pra letra b), que pede o valor dessa taxa de varação máxima
O valor da taxa de variação é o módulo do gradiente, ou seja,
Então, como já achamos que temos que
Resposta
a) Na direção do vetor .
b) A taxa máxima é .