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Exercícios Resolvidos de Vetor Gradiente e Derivada Direcional

Ver Teoria
Exercício 61234578910

Enunciado

Sejam

f x , y , z = x 2 2 + x - 3 y z + 4 z

∇ f = x + 1 , - 3 z , 4 - 3 y

g x , y , z = 2 x + 4 x y + 3 y + z

∇ g = ( 2 + 4 y , 4 x + 3,1 )

Calcule:

  1. ∇ f + g
  2. ∇ f - g

Passo 1

Faaala ai beleza?

Essa questãozinha é bem legal pra gente falar de algumas propriedades do vetor gradiente, são essas duas aqui:

∇ f + g = ∇ f + ∇ g

∇ f + g = ∇ f - ∇ g

Passo 2

A letra a ) pede pra gente ∇ f + g que como a gente viu no passo anterior ela pode ser escrita desse jeitinho aqui

∇ f + g = ∇ f + ∇ g

E o enunciado dá pra gente que

∇ f = x + 1 , - 3 z , 4 - 3 y

∇ g = ( 2 + 4 y , 4 x + 3,1 )

Então podemos dizer que

∇ f + g = x + 1 , - 3 z , 4 - 3 y + ( 2 + 4 y , 4 x + 3,1 )

Pra fazer essa soma, vamos somar os termos de f e g de acordo com as virgulas, então ficamos com

x + 1 + 2 + 4 y   ,   - 3 z + 4 x + 3 ,   4 - 3 y + 1

Então ficamos com

∇ f + g = ( x + 4 y + 3 , - 3 z + 4 x + 3 , 5 - 3 y )

Passo 3

Agora a letra b ) pede pra gente ∇ f - g que como a gente viu no passo anterior ela pode ser escrita desse jeitinho aqui

∇ f - g = ∇ f - ∇ g

E o enunciado dá pra gente que

∇ f = x + 1 , - 3 z , 4 - 3 y

∇ g = ( 2 + 4 y , 4 x + 3,1 )

Então podemos dizer que

∇ f - g = x + 1 , - 3 z , 4 - 3 y - ( 2 + 4 y , 4 x + 3,1 )

Pra fazer essa subtração, vamos diminuir os termos de f e g de acordo com as virgulas, então ficamos com

x + 1 - 2 + 4 y   ,   - 3 z - 4 x + 3 ,   4 - 3 y - 1

Muito cuidado aqui com os sinais ta bom? Fica assim ó:

( x + 1 - 2 - 4 y , - 3 z - 4 x - 3,4 - 3 y - 1 )

Então ficamos com

∇ f - g = x - 4 y - 1 , - 3 z - 4 x - 3,3 - 3 y

Passo 4

Resposta

  1. ∇ f + g = x + 4 y + 3 , - 3 z + 4 x + 3,5 - 3 y
  2. ∇ f - g = x - 4 y - 1 , - 3 z - 4 x - 3,3 - 3 y