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Exercícios Resolvidos de Vetor Gradiente e Derivada Direcional

Ver Teoria
Exercício 91234567810

Enunciado

Encontre a derivada direcional de f x , y , z = x y + y 2 z no ponto P = 7 , - 2,1 na direção do vetor v = 2,2 , 1 .

  1. 2
  2. - 2
  3. 6
  4. - 6
  5. 0
  6. Nenhuma das demais alternativas

Passo 1

Opa, fala aii tranquilinho??

Vamos começar calculando módulo do vetor v , e como eu calculo isso você deve tá se perguntando?

Bom o modulo de um vetor v = ( x , y , z ) é desse jeitinho aqui

v = x 2 + y 2 + z 2

Então para o nosso vetor v = ( 2,2 , 1 ) temos que o modulo é:

v = 2 2 + 2 2 + 1 2

⇒ v = 4 + 4 + 1

⇒ v = 9

⇒ v = 3

Passo 2

Agora, vamos calcular vetor gradiente:

O vetor gradiente é calculado fazendo as derivadas parciais:

∇ f x , y , z = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

A nossa função é

f x , y , z = x y + y 2 z

∂ ∂ x ( x y + y 2 z ) = y

∂ f ∂ y x y + y 2 z = x + 2 y z

∂ f ∂ z x y + y 2 z = y 2

Colocando no nosso vetor gradiente, temos que

⇒ ∇ f x , y , z = y ,   x + 2 y z ,   y 2

Passo 3

Calcular vetor gradiente no ponto P :

∇ f x , y , z = y ,   x + 2 y z ,   y 2

Agora vamos substituir x , y , z   por 7 , - 2,1 que é nosso ponto P

∇ f P = ∇ f 7 , - 2,1

⇒ ∇ f P = - 2 ,   7 + 2 - 2 1 ,   - 2 2

⇒ ∇ f P = - 2 ,   7 - 4 ,   4

⇒ ∇ f P = - 2 ,   3 ,   4

Passo 4

Calcular derivada direcional, que é feita desse jeitinho aqui

∂ f ∂ v P = ∇ f P ⋅ v v  

Juntando as informações que temos:

∇ f P = - 2 ,   3 ,   4

v = 2,2 , 1

v   = 3

Ficamos com:

⇒ ∂ f ∂ v P = - 2,3 , 4 ⋅ 2,2 , 1 3

⇒ ∂ f ∂ v P = 1 3 - 2,3 , 4 ⋅ 2,2 , 1

Agora, fazendo esse produtinho, ficamos com

⇒ ∂ f ∂ v P = 1 3 - 2 2 + 3 2 + 4 1

⇒ ∂ f ∂ v P = 1 3 - 4 + 6 + 4

⇒ ∂ f ∂ v P = 1 3 6

⇒ ∂ f ∂ v P = 2

Alternativa (a).

Resposta

Alternativa (a).