Determine o vetor gradiente das superfícies abaixo
Passo 1
Opa fala aí, tudo bem? Vamos continuar os exercícios de vetor gradiente!
Vamos começar lembrando que o vetor gradiente para uma função é escrito desse jeitinho aqui:
Ou, também podemos escrever assim
Vou usar essa segunda notação aqui, mas se você preferir usar a primeira, fica a sua escolha
Passo 2
Primeira coisa que a gente vai fazer é ajeitar essa função, temos que
O que a gente vai fazer é passar o pro outro lado e escrever a função do jeito que a gente tá mais acostumado de ver
Então, temos que a superfície é o gráfico da função
E temos que o vetor gradiente é
Passo 3
A gente pode começar com a derivada parcial em relação à, lembrando que quando derivamos em relação a , tudo que não é é considerado como constante!
Podemos tirar tudo que não é da derivada, ficando com
E essas derivadas dão pra gente que
Então temos que
Passo 4
Beleza, vamos agora para derivada parcial em relação à , lembrando que quando derivamos em relação a , tudo que não é é considerado como constante!
Podemos tirar tudo que não é da derivada, ficando com
E essas derivadas dão pra gente que
Passo 5
E por último nossa derivada parcial em relação à , lembrando que quando derivamos em relação a , tudo que não é é considerado como constante!
Lembrando que a nossa função é
Podemos tirar tudo que não é da derivada, ficando com
E essas derivadas dão pra gente que
Passo 6
Então, como o nosso vetor gradiente é
E achamos que
Temos que