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Exercícios Resolvidos de Vetor Gradiente e Derivada Direcional

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Exercício 12345678910

Enunciado

Seja a função

f x , y = x 2 + y 2 - y

E o ponto P = 1 ,   1 . Determine:

  1. A direção na qual a taxa de variação de f em P é máxima.
  2. O valor dessa taxa de variação máxima.

Passo 1

Opa fala aii, tranquilinho?Vamos partir pra cima, começando pela letra a)

A taxa de variação de f é máxima na direção do vetor ∇ f P . Então vamos calcular esse gradiente, pra isso vamos calcular as derivadas parciais:

f x x , y = 2 x

f y x , y = 2 y - 1

Então nosso vetor gradiente é

∇ f x , y = ( 2 x , 2 y - 1 )

Para o ponto P ( 1,1 ) temos

⇒ ∇ f P = 2 ,   2 - 1 = 2 ,   1

Então f cresce mais rápido na direção do vetor 2 ,   1 .

Passo 2

Shoow, matamos a letra a), vamos partir pra b) agora

O valor da taxa de variação é o módulo do gradiente, e esse modulo é calculado desse jeitão aqui

∇ f x , y = x 2 + y 2

Entao para nosso ∇ f P , temos:

∇ f P = 2,1 = 2 2 + 1 2 = 5

Resposta

a) Na direção do vetor 2 ,   1 .

b) A taxa máxima é 5 .