As partes superior e inferior da viga de madeira são reforçadas com tiras de aço, como mostra a figura. Determine a tensão de flexão máxima desenvolvida na madeira e no aço se a viga for submetida a um momento fletor . Trace um rascunho da distribuição de tensão que age na seção transversal. Considere , .
Passo 1
O que está acontecendo?
A viga é composta por:
- Uma seção central de madeira de base e altura , com um módulo de elasticidade ;
- E tiras de aço nas partes superior e inferior, com bases , alturas e um módulo de elasticidade .
Ela é submetida a um momento , que vai gerar tensões normais de flexão nela.
Mas como ela é composta, não podemos usar diretamente a fórmula da flexão nela.
Precisamos primeiro usar o método da seção transformada.
E o que é que o exercício quer?
Ele quer saber as tensões de flexão máximas na madeira e no aço devido ao momento aplicado.
Além disso, ele ainda quer que a gente faça um rascunho da distribuição de tensões que age na seção transversal dessa viga.
Então, para resolver esse exercício, vamos ter que:
1. Transformar a seção composta em uma seção transformada feita toda de um material;
Aqui, escolhendo por transformar a parte de madeira em uma parte equivalente de aço, vamos ter que definir um fator de transformação e calcular a largura da parte equivalente.
2. Calcular as propriedades geométricas ( e ) para essa seção transformada;
Aqui, como essa viga é simétrica em relação à horizontal, já conseguimos perceber que a sua linha neutra vai estar na posição central .
& 3. Calcular as tensões na madeira e no aço usando a fórmula da flexão, sabendo que as tensões na madeira devem ser multiplicadas por , uma vez que ela teve sua largura transformada.
Ou seja, vamos calcular as tensões no aço através da fórmula:
E as tensões na madeira através da fórmula:
Passo 2
Então vamos começar pelo primeiro passo, que é a:
Para tanto, definimos o fator de transformação:
E calculamos o valor da largura da parte de aço equivalente à parte de madeira:
Substituindo e a largura original da parte de madeira, , temos:
Dessa forma, a nossa seção transformada, com a linha neutra já no meio (uma vez que essa seção é simétrica em relação à horizontal), fica assim:
Passo 3
Agora, vamos seguir com o cálculo das:
Como vimos no passo e já representamos na figura ao final do passo anterior, já sabemos a posição da linha neutra para essa viga, que é simétrica em relação á horizontal.
Então aqui, só precisamos calcular o momento de inércia da área para a seção transformada.
Começamos numerando os elementos da seção:
Em seguida, aproveitando a imagem acima, calculamos, para cada elemento, o momento de inércia da área , a área e a distância entre o centro do elemento e a linha neutra.
Para os elemento retangulares e , vamos ter um momento de inércia da área:
Uma área:
E por fim, tendo em mente:
- Que o centro do elemento está a uma altura de ;
- E que o centro do elemento está a uma altura de ,
...vamos ter distâncias entre os seus centros e a linha neutra de altura :
Já para o elemento retangular central , vamos ter que:
E que:
Além disso, tendo em mente que o centro do elemento está localizado na linha neutra, vamos ter uma distância em relação à linha neutra:
Com isso, podemos agora aplicar a fórmula abaixo, baseada no teorema dos eixos paralelos, para determinar o momento de inércia da área da seção transformada como um todo:
Realizando esse somatório, temos:
Aí aqui, como os elementos e tem momentos de inércia da área idênticos, áreas idênticas e distâncias idênticas, podemos simplificar essa equação, deixando ela assim:
Substituindo os valores:
- , e ;
- & , e ,
E calculando tudo, encontramos que:
Passo 4
Finalmente, podemos fazer o:
Aqui, podemos observar a geometria da nossa seção:
E perceber que:
- Os valores máximos positivo e negativo da posição relativa à linha neutra para as partes de aço (elementos e ) vão ser ;
- Enquanto que os valores máximos positivo e negativo dessa posição para a parte de madeira (elemento ) vai ser .
Então, aplicando a fórmula da flexão para o aço, vamos ter:
Substituindo, para o aço:
- ;
- Os valores máximos positivo e negativo de ;
- & ,
- ;
- ;
- Os valores máximos positivo e negativo de para a parte de madeira, ;
- & ,
- Que a tensão normal de flexão sempre varia linearmente com a variação da posição em uma seção transversal, como mostram as fórmulas e ;
- Que a tensão na madeira varia de no topo da parte de madeira até na base, passando por uma tensão nula na linha neutra da seção;
- E que a tensão no aço é de no topo da viga e de na base da viga.
- ;
- Os valores de nos pontos em que o aço se encontra com a madeira, ;
- & ,
Vamos ter que as tensões máximas no aço vão ser:
Calculando tudo e sabendo que é o mesmo que , encontramos que:
Sendo que o valor negativo (de compressão) ocorre para o topo da seção, onde , e o valor positivo (de tração) ocorre para a base da seção, onde .
Em seguida, aplicamos a fórmula da flexão para a madeira, que fica multiplicada pelo fator de transformação , uma vez que a madeira teve a sua largura transformada:
Substituindo:
Vamos encontrar as tensões máximas na madeira:
Calculando tudo e sabendo que é o mesmo que , encontramos que:
Sendo que o valor negativo (de compressão) ocorre para o topo da parte de madeira, onde , e o valor positivo (de tração) ocorre para a base da parte de madeira, onde .
Passo 6
Por fim, o exercício ainda quer que a gente faça um esboço da distribuição de tensões nessa seção transversal, então vamos lá!
Sabemos:
Assim, para conseguirmos desenhar a distribuição de tensões na seção transversal, só falta conhecermos a tensão no aço nos pontos em que ele se encontra com a madeira ().
Aplicando a fórmula da flexão de novo para o aço, temos:
Substituindo:
Vamos ter que as tensões no aço nesses pontos de encontro com a madeira vão ser:
O que dá:
Sendo que o valor negativo (de compressão) ocorre no ponto de encontro da tira superior com a madeira, onde , e o valor positivo (de tração) ocorre no encontro da tira inferior com a madeira, onde .
Dessa forma, o nosso rascunho da distribuição de tensões na seção transversal dessa viga fica assim:
Normalmente, é necessário definir eixos e nesses rascunhos.
Definindo um eixo iniciando na base da viga, o rascunho fica assim:
E pronto, traçamos o rascunho pedido pelo exercício!
Na hora de definir a resposta final do exercício, podemos indicar somente os valores absolutos das tensões máximas no aço e na madeira, e assim terminamos nosso exercício: