Teoria

É isso mesmo que você leu no título, vamos aprender a calcular áreas e volumes com determinantes!!

Pois é, determinante serve pra tudo haha, normal você ficar assustado! Na verdade, essa foi uma das motivações da definição do determinante. O que acontece é que o determinante de uma matriz quadrada é uma generalização de área e volume! Vamos ver uns exemplos.

Determinante de matriz 2 × 2

O determinante de uma matriz 2 × 2 pode ser definido como a área de um paralelogramo. Nesse caso, temos algo do tipo:

Para acharmos a área A , basta jogarmos os vetores v e u nas colunas de uma matriz 2 × 2 e calcular seu determinante! Então, teremos:

A = ↑ ↑ u v ↓ ↓ = x 1 x 2 y 1 y 2 = x 1 y 2 - x 2 y 1

Note que, dependendo da ordem que você ordenar os vetores na matriz você pode encontrar uma área negativa. Portanto, para fins práticos de área e volume basta você ignorar esse sinal ;)

Beleza, e se tivéssemos a seguinte situação:

Cuidado que não podemos jogar as coordenadas x 2 , y 2 e x 3 , y 3 direto! Antes precisamos deslocar os vetores u e v para origem, dessa forma:

u ¯ = x 2 , y 2 - x 1 , y 1 = x 2 - x 1 , y 2 - y 1

v ¯ = x 3 , y 3 - x 1 , y 1 = x 3 - x 1 , y 3 - y 1

A área do paralelogramo é dada então por:

A = ↑ ↑ u ¯ v ¯ ↓ ↓ = x 2 - x 1 x 3 - x 1 y 2 - y 1 y 3 - y 1

Por último, vamos ver como ficaria a área de um triângulo formado pelos 2 vetores:

Essa imagem matou o problema né haha? Está claro que A 1 = A 2 . Então basta acharmos a área do paralelogramo e dividirmos por 2 :

A 1 = 1 2 ↑ ↑ u v ↓ ↓ = 1 2 x 1 x 2 y 1 y 2 = x 1 y 2 - x 2 y 1 2

Determinante de matriz 3 × 3

Finalmente vamos ao volume! A ideia é 100 % análoga. Se temos 3 vetores no espaço u ,   v   e w , gerando um paralelepípedo como o da figura abaixo:

O volume do paralelepípedo gerado por esses vetores é dado por:

V = ↑ ↑ ↑ v u w ↓ ↓ ↓ = x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 z 1 z 2 z 3

Da mesma forma, podemos ter um paralelepípedo deslocado. Nesse caso basta deslocarmos os vetores para a origem assim como fizemos no R 2 ;)

Volume e Área nulos

A parte mais legal de área e volume começa agora haha. Preparem-se para sentir aquela iluminação de quando tudo de repente se encaixa e passa a fazer sentido!

Bom, vamos pensar no R 3 . Lembra que o determinante de uma matriz com linhas ou colunas L D era zero? No R 3 vetores serem L D significa que os 3 vetores estão no mesmo plano ou na mesma reta. Tipo assim:

E agora eu te pergunto qual o volume de um plano ou de uma reta? É zero obviamente!! Por isso que o determinante de matrizes L D será sempre 0 !!! Se liga:

No R 2 vetores L D fazem parte da mesma reta. E a área de uma reta é zero! Fica difícil imaginar isso acima do R 3 já que não temos uma medida de “volume” para 4 ou mais dimensões, mas o raciocínio seria análogo!

Determinante de matriz 3 × 3

Volume e Área nulos

Exercícios de Livros Relacionados