Exercícios Resolvidos de Análise Nodal

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Enunciado

Determine as tensões nodais no circuito abaixo:

Passo 1

No circuito acima, os nós já estão identificados. O nó inferior está ligado ao terra e entre os nós 1 e 3 temos uma fonte de tensão formando um supernó. Relaxa, vamos ver o que fazer para esse caso ;)

Passo 2

Primeiro, vamos escolher os sentidos das corretes e nomear as tensões de cada nó para aplicarmos a LCK:

Aplicando a LKC ao supernó, temos a seguinte equação de corrente:

i 2 + i 4 = i 1 + i 3

Agora o mesmo para o nó 2:

15 = i 2 + i 4

Passo 3

Achar as equações das correntes em relação às tensões nodais:

i 1 = v 1 4

i 2 = v 2 - v 1 2

i 3 = v 3 8

i 4 = v 2 - v 3 2

Passo 4

Substituindo as correntes nas duas primeiras equações, temos que:

v 2 - v 1 2 + v 2 - v 3 2 = v 1 4 + v 3 8 15 = v 2 - v 1 2 + v 2 - v 3 2                  

Simplificando:

- 6 v 1 + 8 v 2 - 5 v 3 = 0 - v 1 + 2 v 2 - v 3 = 30    

Passo 5

Temos três incógnitas e apenas duas equações. Precisamos encontrar uma outra equação que relacione v 1 , v 2 e v 3 . Para isso, vamos aplicar a lei das tensões de Kirchhoff para o supernó:

Percorrendo o laço:

- v 1 - 30 + v 3 = 0

- v 1 + v 3 = 30

Passo 6

Pronto, agora que temos três equações para as três incógnitas, vamos resolver esse sistema aí de baixo:

- 6 v 1 + 8 v 2 - 5 v 3 = 0 - v 1 + 2 v 2 - v 3 = 30     - v 1 + 0 v 2 + v 3 = 30    

Primeiro vamos isolar v 3 na terceira equação:

v 3 = 30 + v 1

Em seguida, substituir na primeira equação:

- 6 v 1 + 8 v 2 - 5 ( 30 + v 1 ) = 0

Simplificando:

- 11 v 1 + 8 v 2 = 150

E agora na segunda:

- v 1 + 2 v 2 - ( 30 + v 1 ) = 30  

Simplificando:

- 2 v 1 + 2 v 2 = 60

Passo 7

Agora, temos o seguinte sistema formado por essas duas novas equações:

- 11 v 1 + 8 v 2 = 150 - 2 v 1 + 2 v 2 = 60

Para resolver esse sistema vamos multipicar a segunda equação por (-4) e o resultado somaremos com a primeira:

3 v 1 = 90

v 1 = 30   V

Substituindo na segunda equação:

- 2 ( 30 ) + 2 v 2 = 60

v 2 = 60   V

Passo 8

Calma, já está quase acabando, falta encontrarmos v 3 .

Sabemos que:

- v 1 + v 3 = 30

Substituindo o valor encontrado para v 1 :

- 30 + v 3 = 30

v 3 = 60   V

Ufa! Acabou!

Resposta

v 1 = 30   V

v 2 = 60   V

v 3 = 60   V

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