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Exercícios Resolvidos de Aproximação Quadrática de uma Função de Várias Variáveis

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Exercício 213

Enunciado

Aproxime a função f x , y = cos ⁡ x cos ⁡ y por um paraboloide em x , y = 0 , π

Passo 1

Precisamos nos lembrar da equação do paraboloide que melhor se ajusta a f x . Vai ser:

z = f x 0 , y 0 + f x x 0 , y 0 x - x 0 + f y x 0 , y 0 y - y 0 + f x x x 0 , y 0 2 x - x 0 2 + f y y x 0 , y 0 2 y - y 0 2 + f x y x 0 , y 0 x - x 0 y - y 0

Vamos começar expressando a equação em x , y = 0 ,   π . Fica assim:

z = f 0 , π + f x 0 , π x - 0 + f y 0 , π y - π + f x x 0 , π 2 x - 0 2 + f y y 0 , π 2 y - π 2 + f x y 0 , π x - 0 y - π

Podemos ainda calcular:

f 0 , π = cos ⁡ 0 cos ⁡ π = 1 - 1 = - 1

Passo 2

Agora vamos calcular as derivadas de ordem um:

f x 0 , π = - sen ⁡ x cos ⁡ y = - s e n 0 cos ⁡ π = 0

f y 0 , π = - cos ⁡ x s e n y = - cos ⁡ 0 s e n π = 0

Passo 3

Calcularemos as derivadas de segunda ordem:

f x x 0 , π = - cos ⁡ x cos ⁡ y = - cos ⁡ 0 cos ⁡ π = 1

f y y 0 , π = - cos ⁡ x cos ⁡ y = - cos ⁡ 0 cos ⁡ π = 1

f x y 0 , π = s e n x s e n y = s e n 0 s e n π = 0

f y x x , y = s e n x s e n y = s e n 0 s e n π = 0

Passo 4

Substituir as informações na equação do paraboloide:

z = f 0 , π + f x 0 , π x - 0 + f y 0 , π y - π + f x x 0 , π 2 x - 0 2 + f y y 0 , π 2 y - π 2 + f x y 0 , π x - 0 y - π

Substituindo:

z = - 1 + 0 + 0 + 1 2 x 2 + 1 2 y - π 2 + 0

z = - 1 + 1 2 x 2 + 1 2 y - π 2

Resposta

z = - 1 + 1 2 x 2 + 1 2 y - π 2

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