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Exercícios Resolvidos de Aproximação Quadrática de uma Função de Várias Variáveis

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Exercício 123

Enunciado

Utilize a aproximação quadrática para calcular o valor da função f x , y = 4 - 3 x 2 - 2 y 2 no ponto 1.02,0.99

Passo 1

Precisamos nos lembrar da equação do paraboloide que melhor se ajusta a f x . Vai ser:

z = f x 0 , y 0 + f x x 0 , y 0 x - x 0 + f y x 0 , y 0 y - y 0 + f x x x 0 , y 0 2 x - x 0 2 + f y y x 0 , y 0 2 y - y 0 2 + f x y x 0 , y 0 x - x 0 y - y 0

Porém tem um pequeno detalhe, precisamos escolher um ponto próximo ao ponto 1.02,0 . 99 para encontrar o paraboloide que mais se aproxima da função e assim poder calcular f 1.02,0.99

A fim de facilitar as contas, vamos escolher o ponto 1,1 .

Agora, vamos expressar a equação em x , y = 1,1 . Fica assim:

z = f 1 , 1 + f x 1 , 1 x - 1 + f y 1 , 1 y - 1 + f x x 1 , 1 2 x - 1 2 + f y y 1 , 1 2 y - 1 2 + f x y 1 , 1 x - 1 y - 1

Podemos ainda calcular:

f 1 , 1 = 4 - 3 1 2 - 2 1 2 = - 1

Passo 2

Agora vamos calcular as derivadas de ordem um:

f x 1 , 1 = - 6 x = - 6 1 = - 6

f y 1 , 1 = - 4 y = - 4

Passo 3

Calcularemos as derivadas de segunda ordem:

f x x 1 , 1 = - 6

f y y 1 , 1 = - 4

f x y 1 , 1 = 0

f y x x , y = 0

Passo 4

Substituir as informações na equação do paraboloide:

z = f 1,1 + f x 1,1 x - 1 + f y 1,1 y - 1 + f x x 1,1 2 x - 1 2 + f y y 1,1 2 y - 1 2 + f x y 1,1 x - 1 y - 1

Substituindo:

z = - 1 - 6 x - 1 - 4 y - 1 + - 6 2 x - 1 2 + - 4 2 y - 1 2 + 0 x - 1 y - 1

z = - 1 - 6 x - 1 - 4 y - 1 - 3 x - 1 2 - 2 y - 1 2

Passo 5

Agora só falta calcular z 1.02,0 . 99

Temos:

z = - 1 - 6 1.02 - 1 - 4 0.99 - 1 - 3 1.02 - 1 2 - 2 0.99 - 1 2

z = - 1,0814

Resposta

z = - 1,0814

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