Exercícios Resolvidos de Aproximação Quadrática de uma Função de Várias Variáveis
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Classificação de Pontos Críticos, Diagonalização de Formas Quadráticas no R3
Considere (em todos os itens dessa questão) a função:
E a superfície de nível
b) Escreva a aproximação quadrática da função no ponto .
Passo 1
Resolvendo a letra a)
Vamos classificar todos os pontos críticos da função:
Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos.
Para isso, calcular gradiente:
Para a função em questão, temos:
Passo 2
Encontrar pontos críticos:
Passo 3
Igualando as coordenadas:
Passo 4
Subtraindo a segunda equação da primeira, vamos encontrar: . E substituindo esse resultado na terceira equação, concluímos que . Logo, , e então .
Assim, o único ponto crítico é . E pra classificá-lo, os autovalores da matriz Hessiana de avaliada no ponto que queremos classificar. Ou seja, queremos achar .
Passo 5
E pra achar seus autovalores, construímos o polinômio característico de :
E então, encontramos autovalores iguais a e . E com dois autovalores positivos e um negativo, concluímos que o ponto é um ponto de sela.
Passo 6
A aproximação quadrática no ponto será dada por:
Precisamos achar o gradiente e a Matriz Hessiana de em
Passo 7
Para isso, calcular gradiente:
Para a função em questão, temos:
Substituindo o ponto
Passo 8
Agora vamos achar a Matriz Hessiana. Ela vai ser
Lembrando que precisamos achar essa Hessiana, no ponto
Temos
A matriz Hessiana será:
Isso independente do valor de , e
Assim
Passo 9
Agora, vamos pegar o que achamos e substituir na fórmula da aproximação quadrática