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Exercícios Resolvidos de Base e Dimensão

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Exercício 41235678910

Enunciado

Assinale o vetor que adicionado ao conjunto { ( 1,2 , 3 ) , ( 2,4 , 9 ) } forma uma base para o R 3 :

(a) ( 0 ,   0 ,   6 )

(b) ( 3 ,   6 ,   12 )

(c) ( 6 ,   - 3 ,   0 )

(d) ( 1 ,   2 ,   6 )

Passo 1

Para formar a base do R 3 , o vetor precisa simplesmente não ser C L dos outros 2.

Vamos testar as afirmativas escalonando, lembrando que se uma linha zerar quer dizer que o vetor que estava nela é combinação linear dos demais.

(a) ( 0 ,   0 ,   6 )

1 2 3 2 4 9 0 0 6 → L 2 → L 2 - 2 L 1 1 2 3 0 0 3 0 0 6 → L 3 → L 3 - 2 L 2 1 2 3 0 0 3 0 0 0

Zerou!! Não é esse!!

(b) ( 3 ,   6 ,   12 )

1 2 3 2 4 9 3 6 12 → L 2 → L 2 - 2 L 1 L 3 → L 3 - 3 L 1 1 2 3 0 0 3 0 0 3 → L 3 → L 3 - L 2 1 2 3 0 0 3 0 0 0

Zerou de novo!! Não é esse!!

(c) ( 6 ,   - 3 ,   0 )

1 2 3 2 4 9 6 - 3 0 → L 2 → L 2 - 2 L 1 L 3 → L 3 - 6 L 1 1 2 3 0 0 3 0 - 15 - 18 → L 1 ↔ L 3 1 2 3 0 - 15 - 18 0 0 3

Não zerou! Podemos parar por aqui, porque esse vetor vai ser nossa resposta.

Resposta

c