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Exercícios Resolvidos de Base e Dimensão

Ver Teoria
Exercício 81234567910

Enunciado

Determinar uma base do subespaço do R 4 gerado pelos vetores v 1 = 1 , - 1,0 , 0 ,     v 2 = - 2,2 , 2,1 ,   v 3 =   ( - 1,1 , 2,1 ) e v 4 = ( 0,0 , 4,2 )

Passo 1

Bom, nós temos um conjunto gerador do espaço no qual queremos achar a base, e qual a diferença entre a base e um conjunto gerador??

A base é um conjunto L I !

Assim, basta que a gente transforme aquele conjunto { v 1 ,   v 2 ,   v 3 ,   v 4 } em L I , retirando os vetores C L dos outros, escalonando. Então primeiro, vamos botá-los nas linhas da uma matriz:

1 - 2 - 1 0 - 1 2 1 0 0 2 2 4 0 1 1 2

Passo 2

E agora escalonar:

1 - 2 - 1 0 - 1 2 1 0 0 2 2 4 0 1 1 2   → L 2 ← L 2 + 2 L 1 L 3 ← L 3 + L 1 1 0 0 0 - 1 0 0 0 0 2 2 4 0 1 1 2

1 0 0 0 - 1 0 0 0 0 2 2 4 0 1 1 2 → L 3 ← L 3 - L 2 L 4 ← L 4 - 2 L 2 1 0 0 0 - 1 0 0 0 0 2 0 0 0 1 0 0

As duas últimas linhas foram zeradas, mostrando que v 3 e v 4 eram C L de v 1 e v 2 !

Assim, retirando esses dois vetores do conjunto, temos uma base para o espaço que ele gera:

{ 1 , - 1,0 , 0 , - 2,2 , 2,1 }

Resposta

{ v 1 , v 2 }