USP, 2018, PREC, Q1
Seja um espaço vetorial de dimensão , onde Considere as seguintes afirmações
Se uma família de vetores de é linearmente independente, então essa família contém no máximo vetores
Se uma família de vetores de tem exatamente vetores, então essa família é necessariamente linearmente independente e não geradora
uma família de vetores distintos de Se todo vetor de se escreve como combinação linear dos vetores de , então a equação
Tem como única solução para todo
Então está certo o que se afirma
em (I) e (III), somente
em (I), somente
em (I) e (II), somente
nas três afirmações
em (II) e (III), somente
Passo 1
Falaaa, blz?? Bora começar essa provinha agora pela primeira afirmação da questão.
Se uma família de vetores de é linearmente independente, então essa família contém no máximo vetores
Bom, essa afirmação é verdadeira, pois caso uma família de vetores de tivesse mais de eles não seriam linearmente independentes. Para provar isso vamos supor que exista essa família, dada por:
Onde todos são L.I
Como esses vetores são L.I, em particular, os primeiros também serão. Ou seja, a base C, dada por:
É uma base do espaço E.
Ou seja, qualquer vetor de é escrito como combinação linear desses n vetores de C, em particular, temos que podemos escrever como combinação desses vetores de C.
Ou seja, é impossível
Ser uma família de vetores L.I (pois já mostramos que é combinação dos outros n vetores)
Passo 2
Bora agora para segunda afirmação.
Se uma família de vetores de tem exatamente vetores, então essa família é necessariamente linearmente independente e não geradora
Bom, essa afirmação é falsa, basta pensarmos que temos o , ou seja, .
Podemos tomar uma família de vetores (2 vetores) do tipo:
Basta vermos que essa família não é linearmente independente.
Passo 3
Agora bora para última afirmaçãozinha:
Bom, essa afirmação é verdadeira e sai basicamente a definição de vetores L.I.
Vamos escrever a definição de vetores L.I:
Se são L.I
Você se perguntar de onde vem isso, e eu te digo, lembra que quando temos vetores L.I, não conseguimos escrever um deles como combinação dos outros? Ou seja, se fizermos, por exemplo:
Como são L.I, é impossível escrever o vetor como combinação dos outros vetores, ou seja, essa equação só é verdadeira quando os 2 lados são zero, ou seja:
Bom, é isso que a afirmação (III) nos diz, uma vez que se temos n vetores em E dos quais qualquer vetor de E é escrito como combinação desses n, podemos afirmar que essa família é L.I, mais ainda, C é uma base de E. Ou seja, a única solução de
Resposta
Letra A