Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Base e Dimensão

Ver Teoria
Exercício 21345678910

Enunciado

Determine as dimensões dos seguintes subespaços de R 4 .

  1. todos os vetores da forma ( a ,   b ,   c ,   0 )
  2. todos os vetores da forma a , b ,   c ,   d , onde d = a + b e c = a - b
  3. todos os vetores da forma a ,   b ,   c ,   d , onde a = b = c = d

Passo 1

Vamos começar isso aí, primeiro pela letra (a):

Queremos a dimensão do subespaço cujos vetores tem a forma   ( a ,   b ,   c ,   0 ) .

Bom, dimensão é o número de vetores presentes na base do espaço, então vamos tentar achar uma base para esse espaço aí!

Temos 3 variáveis livres, certo, posso escrever esses vetores dessa forma:

a ,   b ,   c , 0 = a 1 ,   0 ,   0 ,   0 + b 0 ,   1 ,   0 ,   0 + c ( 0 ,   0 ,   1 ,   0 )

Logo, a base desse espaço vai ser { 1 ,   0 ,   0 ,   0 , 0 ,   1 ,   0 ,   0 ,   0 ,   0 ,   1 ,   0 }

Como tem 3 vetores, a dimensão será 3!

Um bizú: o número de variáveis livres é igual a dimensão do espaço, então nem precisaríamos achar essa base e decompor o vetor para achar nossa resposta, o que facilita muito nossa vida!!

Passo 2

Vamos agora para a letra (b):

Bora analisar a dimensão do subespaço cujos vetores tem a forma a , b ,   c ,   d , onde d = a + b e c = a - b :

Com o bizú que vimos ali em cima, percebemos que nosso novo objetivo é achar o número de variáveis livres.

Temos 4 variáveis no nosso vetor, porém 2 delas estão em função das outras o que as torna variáveis dependentes, sobrando então, 2 variáveis livres.

Assim, nosso espaço tem dimensão 2!

E por último a letra (c):

Queremos agora a dimensão do subespaço de vetores a ,   b ,   c ,   d , onde a = b = c = d .

Bom, essa aqui fica mais fácil de visualizar substituindo os valores no vetor. Como a = b = c = d , temos:

a ,   b ,   c ,   d = ( a ,   a ,   a ,   a )

Ou seja, temos apenas uma variável livre! E portanto, um espaço de dimensão 1.

Resposta

  1. 3
  2. 2
  3. 1