Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Base e Dimensão

Ver Teoria
Exercício 12345678910

Enunciado

Determine o valor de m para que o conjunto B forme uma base para M 2 x 2 ( R ) .

B = 2 0 0 2 ,   0 3 0 0 ,   0 1 m 0 ,   0 0 0 1

Passo 1

Beleza, a gente tem um conjunto B com 4 matrizes e queremos o valor de m pra que essas matrizes sejam base de M 2 x 2 ( R ) .

Antes de tudo, uma base composta por matrizes 2 x 2 tem sempre dimensão 4, então no caso já estamos de acordo com isso, pois temos 4 matrizes.

Agora nossa condição é que essas 4 matrizes sejam L.I., para isso:

α 2 0 0 2 + β 0 3 0 0 + γ 0 1 m 0 + δ 0 0 1 1 = 0 0 0 0 → α = β = γ = δ = 0

Passo 2

Da equação do passo 1, temos

2 α 0 0 2 α + 0 3 β 0 0 + 0 γ m γ 0 + 0 0 1 δ 1 δ = 0 0 0 0

Somando as matrizes:

2 α 3 β + γ m γ + δ 2 α + δ = 0 0 0 0

Agora vamos igualar termo a termo:

2 α = 0 3 β + γ = 0 m γ + δ = 0 2 α + δ = 0

Passo 3

Queremos que nosso conjunto seja L.I, então devemos ter que α = β = γ = δ = 0 :

2 . 0 = 0 3 . 0 + 0 = 0 m . 0 + 0 = 0 2 . 0 + 0 = 0

0 = 0 0 = 0 m . 0 = 0 0 = 0

Beleza, isso condiz pra todas as outras equações, mas e na linha de m , qual deve ser o valor dele pra que m . 0 = 0 ??

Isso aí, m pode assumir qualquer valor, afinal, vai ter um 0 multiplicando ele ali certo?

Então, basicamente, pra qualquer valor de m , o conjunto B = 2 0 0 2 ,   0 3 0 0 ,   0 1 m 0 ,   0 0 0 1 vai ser L.I :)

Resposta

m pode assumir qualquer valor.