USP – Sem Campus – Álgebra Linear - Provas – P3 – 2017 – 4
Considere a base
de M2() e seja S o subespaço de M2() definido por:
.
Se x, y ∈ forem tais que ∈ , então x − y será igual a:
(a) 4;
(b) 3;
(c) 10;
(d) −5;
(e) −1.
Passo 1
Salve galera! Tudo certinho com vocês? Vamos lá resolver essa questão. Já aviso pra não se assustar com o tamanho dela no começo, pode parecer extensa, mas é porque trabalha com matrizes, então utiliza um bom espaço. Então bora lá!
MEDO DA MATRIZ
A primeira coisa que a a questão nos entrega é que a base que forma é composta por:
E também existe um subespaço , definido da seguinte forma:
.
Se x, y ∈ forem tais que ∈
E logo aí a questão nos faz um pergunta especial:
Se x, y ∈ forem tais que ∈
Ou seja, se essa matriz:
Pertence a . Qual é a subtração de:
E essa é a nossa pergunta. Como e podem ser descritos dentro de uma matriz pertencente ao subespaço vetorial , então precisamos achar quem são as matrizes descritas por . Te aguardo no próximo passo!
Passo 2
Show, para achar o nosso subespaço vetorial S, que é descrito por:
.
Vamos primeiro “destrinchar ele”. Para isso, precisamos substituir na segunda equação e fazer o produto escalar para acharmos quem é esse subespaço vetorial. Você lembra como a gente monta um produto escalar pra esse caso? Segue o fio:
Fazemos isso multiplicando cada matriz gerada por , pelo escalar correspondente vindo de . Dessa forma:
Ou seja:
Belezura, conseguimos achar o .
Passo 3
Agora vamos olhar para a matriz com a qual temos que achar os valores de e :
Ora, se a questão fala que essa matriz faz parte de , significa que cada informação nessa matriz, pertence aos moldes de . E já que cada vetor dentro de um espaço vetorial, pode ser escrito como uma multiplicação dos vetores do subespaço por um escalar qualquer pra cada dimensão, então que:
Onde e são os vetores da base de . Como já os achamos no passo anterior, vamos substituílos nessa equação.
E aqui temos justamente um sistema de equações! Pra montar ele, vamos relacionar os termos que pertecem a mesma posição. Por exemplo, olhando somente para , que está na posição (primeira linha e primeira coluna), temos:
E por aí vai. Montando o sistema de equações pra todos os casos, temos:
Agora é resolver o sistema e encontrar os valores de e !
Passo 4
Do sistema conseguimos tirar logo de cara que:
Da equação , b = 3/2.
Portanto:
Substituindo em , temos:
a + b = 2
a + 3/2 = 2
a = 0,5
Showzinho, agora substituindo em , temos:
3a = y
y = 3/2
y = 1,5
E já encontramos o nosso ! Agora substituindo e em , temos:
x =
Passo 5
Perfeito, conseguimos encontrar os valores para as variáveis que a gente tava procurando. Agora como a questão pede, vamos realizar a subtração, aproveitando que sabemos os valores de e .
E olha que coisa: encontramos que a resposta é o item a);
E é isso! WE DID IT!!! Se ficou alguma dúvida, quer dar alguma sugestão ou reportar algum erro, manda um feedback pra gente! Vamos adorar ajudar você
Resposta
Item 4;