Os vetores , , , geram .
Retire algum (ou alguns) elementos de de modo a obter uma base para .
Passo 1
Como queremos uma base para , devemos tirar 2 vetores de , de modo a ficarmos com apenas 3 vetores e assim termos dimensão 3, como desejado ok?
Os 3 vetores que vão ficar no conjunto devem, necessariamente, ser L.I., pois queremos que eles formem uma base certo?
Lembrando que pra um conjunto de vetores serem LI é necessário que
Somente se TODOS os coeficientes forem 0. Se umzinho for diferente de zero então o conjunto é LD.
Passo 2
Vamo fazer uma estratégia aqui! Primeiro vamos pegar dois vetores que sejam LI entre si, assim nós vamos ter . A partir daí a gente pega um terceiro vetor pra e aí verificamos se os 3 são LI.
Vamos pegar o primeiro e segundo
Que nos dá as seguintes equações
A primeira e terceira equação até concordam entre si, né? Mas botando a segunda equação na história a única solução possível é . Isso significa que esses dois vetores são LI
Passo 3
Agora vamos colocar o vetor e ver o que acontece
Montando o sistema de equações pra esse caso vamos ter
Olhando pra esse sisteminha, vemos que a terceira equação é igual a primeira (só que multiplicada por 2). Isso nos dá um sistema com 2 equações e 3 variáveis, então no melhor caso possível o sistema tem uma solução com um parâmetro livre.
Então não temos só uma solução com todos parâmetros nulos, o que significa que esses vetores são LD
Passo 4
Agora vamos usar o vetor
O que nos dá o seguinte sistema
Aconteceu a mesma coisa do passo anterior, né? A terceira equação é duas vezes a primeira, então esse conjunto é LD também :/
Passo 5
Então vamos pro quinto vetor
O que nos dá o seguinte sistema de equações
Da terceira equação
Jogando na primeira equação
Jogando esses dois resultados na primeira
Voltando para
A única solução do nosso sistema é que todos os parâmetros são zero! Isso significa que esse conjunto é LI! Uhullll! Achamos :D
Resposta