Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Base e Dimensão

Ver Teoria
Exercício 61234578910

Enunciado

Encontre uma base para o subespaço S de R 4 consistindo em todos os vetores da forma ( a + b ,   a - b + 2 c ,   b ,   c ) , nos quais a , b e c são números reais. Qual é a dimensão de S ?

Passo 1

Queremos vetores que possam ser escritos como a + b ,   a - b + 2 c ,   b ,   c .

Vamos separar esse vetor em partes para encontrarmos seus geradores:

a + b ,   a - b + 2 c ,   b ,   c = a ,   a ,   0 ,   0 + b ,   - b ,   b ,   0 + ( 0 ,   2 c ,   0 ,   c )

Passo 2

Colocando para fora dos vetores as nossas variáveis a , b e c :

a 1 ,   1 ,   0 ,   0 + b 1 ,   - 1 ,   1 ,   0 + c ( 0 ,   2 ,   0 ,   1 )

Seja o conjunto de geradores { 1 ,   1 ,   0 ,   0 ,   1 ,   - 1 ,   1 ,   0 ,   0 ,   2 ,   0 ,   1 } , de fato todos eles são escritos da forma a + b ,   a - b + 2 c ,   b ,   c , agora vamos verificar se eles são L.I. para que sejam base de R 4

Passo 3

Seja:

α 1 ,   1 ,   0 ,   0 + β 1 ,   - 1 ,   1 ,   0 + γ 0 ,   2 ,   0 ,   1 = 0

α ,   α ,   0 ,   0 + β ,   - β ,   β ,   0 + 0 ,   2 γ ,   0 ,   γ = 0

Isso nos dá:

α + β = 0 α - β + 2 γ = 0 β = 0 γ = 0

Daí, temos que α = β = γ = 0 . Logo, nossos 3 vetores são L.I e então formam uma base para S :)

Como temos 3 vetores, S tem dimensão 3 ok?

Lembrando que não existe apenas um conjunto de geradores viu? Se você encontrou outro, pode estar certo também!!

Você também poderia selecionar 3 vetores quaisquer escritos na forma a + b ,   a - b + 2 c ,   b ,   c e verificar se são L.I.

Resposta

{ 1 ,   1 ,   0 ,   0 ,   1 ,   - 1 ,   1 ,   0 ,   0 ,   2 ,   0 ,   1 }

S tem dimensão 3.