Encontre a área da região limitada acima por , abaixo por e nas laterais por e .
Passo 1
Vamos pra mais uma?
Aqui a gente tem duas curvas. O primeiro passo nesse caso é fazer um esboço de cada uma dessas funções no plano.
Começando pelas mais fáceis: e que são só duas retas verticais cruzando esses pontos.
Para fazer o esboço da de forma útil, é uma boa ideia calcular e , e traçar uma reta entre esses dois pontos, já que essa função é uma função linear e seu gráfico sempre será uma linha reta.
E para a também podemos calcular o valor dela nos pontos onde e . O gráfico dessa função é uma parábola, então calculamos que e e fazemos uma parábola razoável que passe por esses dois pontos.
Você deve ficar com algum parecido com isso aqui:
E o nosso objetivo é calcular essa área que está em azul.
Passo 2
Percebe que essa região azul é simplesmente a área embaixo da reta vermelha menos a área em baixo da parábola azul? Tudo isso no intervalo .
Mas “área embaixo da função” é exatamente o que a integral calcula, então escrevendo isso como integrais, vamos achar o seguinte:
Ótimo, agora é só substituir:
Passo 3
E agora ficamos com a integral de um polinômio. Lembra como integra uma função desse tipo? A regra é essa:
Passo 4
Ótimo, agora vamos aplicar essas técnicas para calcular a área:
Show! Agora só falta a gente aplicar os limites de integração...
Passo 5
Pra substituir os limites, a gente faz a substitui o limite de cima em todos os lugares que tem no nosso resultado, faz a mesma com o limite de baixo e subtrai os dois, assim ó:
Repare que o segundo parênteses vai zerar completamente, e ficaremos apenas com:
Resolvendo as potências temos:
Pra somar essa fração, vamos multiplicar o por 3 em cima e embaixo:
Aí agora que as duas frações estão com o mesmo denominador, a gente pode subtrair ali em cima e repetir o denominador:
Pronto, essa é a área da nossa região.
Resposta
A área da região é