Encontre a área da região sombreada.

Passo 1

Opaaa! Fala ai! Estamos na reta final de cálculo de áreas

Bom galera, antes de começar, vamos dar nomes aos bois!

A gente tem duas funções em relação a y ‼ !

Começando pela rosinha:

f y = 2 y - y ²

Agora para azul:

g y = y ² - 4 y

Já sabemos como se calcula área sobre as curvas, não é?

Passo 2

Beleza, achamos as curvas, mas e os intervalos de integração?

As curvas se cruzam em dois pontos, 0,0   e   - 3,3 . Como nossa variável é o y, nós olhamos qual o menor e o maior valor de y . Assim, nosso intervalo de integração vai de

0 → 3

Então temos que

0 ≤ y ≤ 3

Agora ficou fácil, não é?

Passo 3

Como temos as funções e os intervalos, vamos montar a nossa integral, que é desse jeitinho aqui:

A = ∫ 0 3 f y - g y d y

Substituindo as funções:

A = ∫ 0 3 ( 2 y - y ² ) - y ² - 4 y d y

Agora vamos abrir a equação um pouquinho tirando os parênteses e arrumando os sinais:

A = ∫ 0 3 2 y - y 2 - y 2 + 4 y d y

Ajeitando essa belezinha aí, ficamos apenas com:

A = ∫ 0 3 6 y - 2 y 2 d y

Para ficar mais tranquilinho, vamos separar a integral:

= ∫ 0 3 6 y d y - ∫ 0 3 2 y ² d y

Tiramos a constante da integral:

= 6 ∫ 0 3 y d y - 2 ∫ 0 3 y ² d y

Agora integrando isso daí, temos:

= 6 y 2 2 - 2 y 3 3 0 3

Podemos simplificar na primeira fração, ficando com:

3 y ² - 2 3 y ³ 0 3

Aplicando os limites de integração:

= 3.3 ² - 2 3 . 3 ³ - 3.0 ² - 2 3 . 0 ³

Agora, ajeitando isso daí, temos:

= 27 - 18 = 9

Sendo assim:

A = 9

Resposta

A = 9   u . a .

Exercícios Resolvidos de Cálculo de Áreas

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