Para quais valores de a reta e a curva delimitam uma região? Encontre a área da região.

Primeiramente, iremos encontrar os pontos de interseção, igualando os ’s:

Dessa forma, temos

Como temos dos dois lados da igualdade, uma das formas de resolver é fazendo :

De fato, zero é igual a zero e a solução tá certinha, só que pra resolver a questão precisamos dos valores de , então precisamos tentar de outro jeito!

Vamos “cortar” o que está multiplicando os dois lados pra simplificar um pouco a expressão:

Agora podemos resolver:

Se aplicarmos raiz quadrada dos dois lados dessa equação, temos:

Agora, vamos olhar um pouco pra esse resultado que encontramos para entender quais valores de geram soluções válidas.

A forma mais fácil de resolver é quando :

Para qualquer valor de maior que , por exemplo , o primeiro termo da subtração fica menor que o segundo e o resultado passa a ser uma raiz negativa, o que não serve pra gente aqui:

Usando valores de menores que mas ainda positivos, por exemplo , encontramos soluções válidas:

Mas usando valores negativos de , também chegamos a raízes negativas, que não servem aqui:

Dessa forma, deve estar no intervalo para que haja solução.

Utilizando os conceitos de área entre curvas, podemos escrever a seguinte integral

Para simplificar, vamos separar em duas integrais:

Para a primeira vamos fazer uma substituição simples, chamando:

Então ficamos com:

Resolvendo isso, temos:

Mas como o veio da substituição, vamos retornar para termos de :

Agora, vamos resolver a segunda integral:

Apesar dos limites de integração serem complicados, temos apenas uma integral de :

Retornando à expressão completa:

Vamos substituir as duas integrais que resolvemos:

Podemos cortar o que multiplica com os dividindo ambos os termos:

Por fim, substituímos os limites de integração e fazemos as contas: