Encontre a área da região sombreada.
Passo 1
Fala aí, bora pra mais uma área?
Perceba que nessa aqui temos funções de , então os intervalos e as variáveis vão ser todas em , beleza?
É como se o nosso gráfico tivesse tombado no eixo .
Seguinte, a área da região limitada pelas curvas é da seguinte forma:
Sendo que como estamos lidando agora com funções de , a gente analisa qual função tá (na frente” e qual está “atrás”.
Concorda que quem tá na frente ali é e quem tá atrás é ? Então, e .
Passo 2
Beleza, falta a gente achar os limites de integração. Vamos olhar em . Nossa figura tá indo de a , certo? Esses são os nossos limites de integração!
Nossa área então é calculada por:
Tirando os parênteses e concertando os sinais, nossa integral se torna:
Podemos separar assim:
Passo 3
Bem, para achar o valor dessa integral vamos calcular a integral indefinida dela e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.
Agora é fácil achar as primitivas da função, usando quatro expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:
Passo 4
Aplicando isso nas nossas integrais, temos:
A gente vai jogar nos limites de integração agora (aí nem vai precisar desse mais)
Passo 5
Agora a gente aplica os limites de integração, lembrando que substituímos o limite de cima em todos os lugares que tiver na nossa função, fazemos a mesma coisa com o de baixo e depois subtraímos os dois. Assim ó:
Agora a gente resolve isso...
Passo 6
Resolvendo as continhas ali...
Tirando os parênteses e concertando os sinais, ficamos com:
A gente pode multiplicar o por em cima e embaixo pra poder somar com o :
Agora já podemos somar em cima e repetir o denominador do :
E pronto! Essa é a nossa área! 😊