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Exercícios Resolvidos de Circuito RLC sem fonte

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Exercício 51234678910

Enunciado

A chave do circuito abaixo muda da posição A para B em t = 0 (observe atentamente que a chave deve se conectar ao ponto B antes de ela desfazer a conexão em A , um interruptor). Fazendo v 0 = 0 ,   determine v ( t ) para t > 0 .

Passo 1

Vamos considerar que a chave estava na posição A por um longo tempo antes de t = 0 . Logo, o circuito já estava em seu regime permanente, ou seja, já podemos considerar o indutor funcionando como curto-circuito e o capacitor como um circuito aberto.

Passo 2

Logo, para o instante exatamente antes da chave se abrir ( t = 0 - ) , a gente pode considerar o circuito assim:

Logo, pela lei de Ohm a corrente será

i 0 - = 80 40

i 0 + = 2   A

Passo 3

Agora, vamos analisar o circuito quando a chave muda para posição B . Em t = 0 + , podemos considerar o seguinte circuito:

Repare que v e i não estão de acordo com a convenção de sinais dos elementos passivos, lembra? Então, para ficar mais fácil da gente resolver, vamos inverter a polaridade da tensão e chama-la de v 1 .

Onde,

v t = - v 1 ( t )

Logo, teremos o seguinte circuito:

Esse circuito nós conhecemos! É o R L C série sem fonte. Aplicando a LTK no circuito, temos:

R i + L d i d t + 1 C ∫ - ∞ t i   d t = 0

Vamos eliminar a integral derivando a equação em relação a t .

R d i d t + L d 2 i d t 2 + 1 C i = 0

Agora, vamos dividir os termos por L e arrumar a equação.

d 2 i d t 2 + R L d i d t + i L C = 0

Substituindo os valores dos elementos, temos:

d 2 i d t 2 + 10 4 d i d t + i ( 0,25 ) ( 4 ) = 0

d 2 i d t 2 + 2,5 d i d t + i = 0

Passo 4

Chegamos na equação diferencial de segunda ordem. Para resolver essa equação, primeiro vamos obter a equação característica:

r 2 + 2,5 r + 1 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau, temos as duas raízes

r 1 = - 2 , 5 - 2,5 2 - 4 2

r 1 = - 2,5 - 1,5 2

r 1 = - 2

e

r 2 = - 2,5 + 1,5 2

r 2 = - 0,5

Temos duas raízes reais negativas e distintas. Logo, para esse caso a solução da EDO é

i t = A e r 1 t + B e r 2 t

Substituindo os valores das raízes

i t = A e - 2 t + B e - 0,5 t

Passo 5

Encontramos uma expressão para a corrente do circuito, mas o que queremos determinar é a tensão no capacitor v 1 t para t > 0 . Sabemos que no capacitor

v 1 t = 1 C ∫ 0 t i   d t

Logo,

v 1 t = 1 0,25 ∫ 0 t A e - 2 t ' + B e - 0,5 t '   d t '

Resolvendo a integral por substituição simples, temos:

v 1 t = 4 A e - 2 t - 2 + B e - 0,5 t - 0,5

v 1 t = - 2 A e - 2 t - 8 B e - 0,5 t

Passo 6

Agora, precisamos encontrar os valores das constantes A e B . Como se trata de uma EDO de segunda ordem, precisamos da condição inicial da tensão v ( 0 + ) e de sua derivada d v ( 0 + ) / d t .

O enunciado nos disse que v 0 = 0 . Como no capacitor a tensão não varia instantaneamente:

v 1 0 + = 0

Portanto,

v 1 0 + = - 2 A e - 2 0 - 8 B e - 0,5 ( 0 )

- 2 A - 8 B = 0

Como o circuito é serie, a corrente é a mesma para todo o circuito e como no indutor a corrente não pode variar instantaneamente:

i 0 - = i 0 + = 2

Logo, no capacitor temos:

i 0 + = 0,25 d v 0 + d t

2 = 0,25 d v 0 + d t

d v 1 0 + d t = 8   V / s

Derivando v t ,   temos

d v 1 t d t = 4 A e - 2 t + 4 B e - 0,5 t

Então,

d v 1 0 + d t = 4 A e - 2 0 + 4 B e - 0,5 ( 0 )

4 A + 4 B = 8

Passo 7

Chegamos no seguinte sistema:

- 2 A - 8 B = 0   4 A + 4 B = 8

Multiplicando a primeira equação por dois e somando com a segunda, temos:

- 12 B = 8

B = - 8 12 = - 0,667

Logo,

A = - 8 - 0.667 2 = 2,667

Passo 8

Portanto, substituindo os valores das constantes, nossa solução final será:

v 1 t = - 2 ( 2,667 ) e - 2 t - 8 ( - 0,667 ) e - 0,5 t

v 1 t = - 5,33 e - 2 t + 5,33 e - 0,5 t     V

Como,

v t = - v 1 ( t )

v t = 5,33 e - 2 t - 5,33 e - 0,5 t     V

Resposta

v t = 5,33 e - 2 t - 5,33 e - 0,5 t     V

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A equação que descreve a tensão em um circuito RLC é d 2 v d t 2 + 5 d v d t + 4 v = 0 Se v(0) = 0, dv(0)/dt = 10 V/s, obtenha v(t).
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Obtenha v ( t ) para t0 no circuito da Figura 8.73.