(Adaptado) Rejeitos radioativos são colocados em um recipiente esférico de parede delgada. Os rejeitos geram energia térmica por unidade de volume de forma não uniforme de acordo com a relação . Onde é o raio do recipiente e uma constante.
Mantidas as condições de regime estacionário pela imersão do recipiente em um líquido que se encontra a e que fornece um coeficiente convectivo uniforme.
Determine a distribuição de temperaturas no interior do recipiente. Expresse seu resultado em termos de , , , e (condutividade térmica do rejeito).
Passo 1
A equação de calor para um sistema esférico é dada por:
Como o problema nos disse para considerar regime estacionário, e considerando que o fluxo de calor se dá somente na direção radial, a equação de calor pode ser simplificada para:
Substituindo a expressão da geração de calor, teremos:
Passo 2
Vamos agora resolver a equação, beleza?
Multiplicando os dois lados por , teremos:
Integrando dos dois lados em relação a :
Dividindo ambos os lados por :
Integrando novamente em relação a :
Agora temos que descobrir as constantes e . Para isso, vamos precisar das condições de contorno.
Passo 3
- Condição de contorno 1: fluxo de calor zero no centro.
Nós encontramos a expressão de no passo anterior.
Se liga que, ao avaliarmos a equação na posição , o termo com a constante tende ao infinito. Como a derivada não pode tender ao infinito, a constante deve ser zero pra cancelar a contribuição desse termo, logo:
Passo 4
- Condição de contorno 2: convecção na superfície.
Onde:
E, usando a expressão da derivada:
Assim:
Reorganizando os termos pra isolar :
Assim: