Exercícios Resolvidos de Condução com Geração Térmica

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Enunciado

Um proprietário de um imóvel, cuja tubulação de água congelou durante um período de tempo frio, decide derreter o gelo passando uma corrente elétrica I ao longo da parede do tubo. Os raios interno e externo são designados por r 1 e r 2 , e sua resistência elétrica por unidade de comprimento por R e l ' . O tubo é bem isolado no exterior e durante a fusão do gelo (e água) permanece a uma temperatura constante T f no tubo associada ao processo de fusão.

a Considerando que condições de regime estacionário são alcançadas logo depois da aplicação da corrente, determine a forma de distribuição de temperatura T ( r ) em regime estacionário na parede do tubo durante o processo de fusão.

b Desenvolva uma expressão para o tempo t f necessário para fundir totalmente o gelo. Calcule esse tempo para I = 100   A , R e l ' = 0,30   Ω . m - 1 e r 1 = 50   m m .

Passo 1

a Considerando que condições de regime estacionário são alcançadas logo depois da aplicação da corrente, determine a forma de distribuição de temperatura T ( r ) em regime estacionário na parede do tubo durante o processo de fusão.

Vamos antes de iniciar o problema, identificar todos os dados do enunciado: I , k , r 1 , r 2 , R e l ' e T f . Beleza, então já sabemos que o perfil de temperatura solicitado deve estar em função somente desses parâmetros!

Como queremos determinar o perfil de temperatura em uma casca cilíndrica, vamos recorrer à equação do calor em coordenadas cilíndricas:

1 r . ∂ ∂ r k . r . ∂ T ∂ r + 1 r 2 . ∂ ∂ ϕ k . ∂ T ∂ ϕ + ∂ ∂ z k . ∂ T ∂ z + q ˙ = ρ . c p . ∂ T ∂ t

Ao admitir que a condução de calor é unidimensional em r e as propriedades são constantes, temos que:

k r . ∂ ∂ r r . ∂ T ∂ r + q ˙ = ρ . c p . ∂ T ∂ t

Pelo enunciado, as condições de regime estacionário são alcançadas instantaneamente, então, não há variação da temperatura ao longo do tempo. Assim:

k r . ∂ ∂ r r . ∂ T ∂ r + q ˙ = 0

Reorganizando a equação, a gente fica com:

∂ ∂ r r . ∂ T ∂ r = - q ˙ k . r

Integrando a equação em termos de r :

∫ ∂ ∂ r r . ∂ T ∂ r d r = ∫ - q ˙ k . r d r

r . ∂ T ∂ r = - q ˙ k . r 2 2 + C 1

Reorganizando essa equação:

∂ T ∂ r = - q ˙ 2 . k . r + C 1 r

Integrando novamente a equação em termo de r , a gente fica com:

∫ ∂ T ∂ r d r = ∫ - q ˙ 2 . k . r + C 1 r d r

T r = - q ˙ 4 . k . r 2 + C 1 . ln ⁡ r + C 2

Pronto! Esse é o perfil de temperatura num corpo cilíndrico. Mas repara que a gente não usou nenhum dos dados ainda! Isso porque a gente ainda não determinou as constantes C 1 e C 2 .

Passo 2

Pra gente determinar as constantes, precisamos das famosas condições de contorno. Pra identificar quais são as condições de contorno desse problema, dá uma olhadinha no esquema de novo aqui embaixo:

Pela imagem, a gente pode perceber que na superfície em r = r 2 , o fluxo de calor é zero, devido ao isolamento, então a condição de contorno será de fluxo constante nulo. Já em r = r 1 , a superfície está em contato com o gelo ( T f ), logo a condição de contorno será de temperatura constante e igual a T f .

Vamos trabalhar com uma condição por vez, beleza?

Passo 3

Bora usar essas condições de contorno agora:

  • Condição de contorno 1: fluxo zero na parede em r = r 2 .
  • q ' ' r = r 2 = 0

    - k . d T d r r = r 2 = 0

    Já encontramos no Passo 1, a expressão da derivada da temperatura:

    d T d r = - q ˙ 2 . k . r + C 1 r

    d T d r r = r 2 = - q ˙ 2 . k . r 2 + C 1 r 2

    Substituindo na equação:

    - k . - q ˙ 2 . k . r 2 + C 1 r 2 = 0

    Reorganizando a equação:

    q ˙ 2 . k . r 2 = C 1 r 2

    C 1 = q ˙ 2 . k . r 2 2

    Passo 4

  • Condição de contorno 2: temperatura constante e igual a T f .

T r 1 = T f

Substituindo na expressão do perfil que encontramos no Passo 1:

T r = - q ˙ 4 . k . r 2 + C 1 . ln ⁡ r + C 2

Então, ficamos com:

- q ˙ 4 . k . r 1 2 + C 1 . ln ⁡ r 1 + C 2 = T f

Avaliando em r = r 1 e substituindo o valor encontrado anteriormente de C 1 :

- q ˙ 4 . k . r 1 2 + q ˙ 2 . k . r 2 2 . ln ⁡ r 1 + C 2 = T f

C 2 = T f + q ˙ 4 . k . r 1 2 - q ˙ 2 . k . r 2 2 . ln ⁡ r 1

Passo 4

Pronto! Encontramos as duas constantes! Agora é só substituir na expressão do perfil de temperatura:

T r = - q ˙ 4 . k . r 2 + C 1 . ln ⁡ r + C 2

T r = - q ˙ 4 . k . r 2 + q ˙ 2 . k . r 2 2 . ln ⁡ r + T f + q ˙ 4 . k . r 1 2 - q ˙ 2 . k . r 2 2 . ln ⁡ r 1

Reorganizando essa bagunça de letras, a gente fica com:

T r = - q ˙ 4 . k . r 2 - r 1 2 + q ˙ 2 . k . r 2 2 . ln ⁡ r r 1 + T f

Esse é o perfil de temperatura na casca cilíndrica! Mas tem um detalhe: ele não tá escrito somente em termos daqueles parâmetros que mencionamos ( I , k , r 1 , r 2 , R e l ' e T f ). O calor gerado ( q ˙ ) não pode estar na expressão do perfil.

Passo 5

Pra solucionar esse problema, a gente vai tentar escrever ele em função dos demais parâmetros!

A gente sabe que a energia que é gerada é uma consequência do efeito Joule, ou seja, a corrente elétrica que passa dissipa uma taxa volumétrica de calor. E sabemos que a taxa de energia pode ser escrita como:

q e l = R e l . I 2

Assim:

q ˙ = q e l = R e l . I 2

Mas o dado é em termos de R e l ' , ou seja, é a resistência por unidade de comprimento:

L . R e l ' = V . R e l

Em que L é o comprimento da casca cilíndrica e V é seu volume.

L . R e l ' = A . L . R e l

R e l = R e l ' A

Em que essa área A é a área transversal da casca cilíndrica:

Dessa maneira:

R e l = R e l ' π . r 2 2 - r 1 2

Substituindo as expressões:

q ˙ = R e l ' . I 2 π . r 2 2 - r 1 2

Passo 6

b Desenvolva uma expressão para o tempo t f necessário para fundir totalmente o gelo. Calcule esse tempo para I = 100   A , R e l ' = 0,30   Ω . m - 1 e r 1 = 50   m m .

Fazendo um balanço de energia no corpo de gelo, a gente fica com:

E ˙ e - E ˙ s + E ˙ g = E ˙ a

q ˙ . V - 0 + 0 = Q t f

Dividindo pela unidade de comprimento L , ficamos com:

q ˙ . A = ρ g e l o . A g e l o . h f u s t f

q ˙ . π . r 2 2 - r 1 2 = ρ g e l o . π . r 1 2 . h f u s t f

Substituindo a expressão da taxa de calor volumétrica:

R e l ' . I 2 π . r 2 2 - r 1 2 . π . r 2 2 - r 1 2 = ρ g e l o . π . r 1 2 . h f u s t f

t f = ρ g e l o . h f u s . π . r 1 2 R e l ' . I 2

Com os valores do enunciado, temos que:

t f = 920   k g . m - 3 . 3,34 x 10 5   k J . k g - 1 . π . 0,05   m 2 0,30   Ω . m - 1 . 100   A 2

t f = 804   s

Resposta

a

T r = - q ˙ 4 . k . r 2 - r 1 2 + q ˙ 2 . k . r 2 2 . ln ⁡ r r 1 + T f

( b )

t f = 804   s

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