Considere um cabo elétrico longo, de raio e condutividade térmica , no qual calor é uniformemente gerado com uma taxa volumétrica de . Este cabo é revestido com uma camada de plástico de de espessura e condutividade térmica de .
O plástico está em contato perfeito com a superfície do cabo elétrico. A temperatura da superfície externa do plástico é de . No regime permanente, calcule:
Temperatura na interface entre o cabo e o plástico;
Temperatura no centro do cabo.
O revestimento plástico reduz ou aumenta a temperatura na superfície do cabo? Justifique sua resposta.
Passo 1
Temperatura na interface entre o cabo e o plástico;
Pra calcular a temperatura na interface, devemos calcular a taxa de transferência de calor. Nesse sistema, o calor está sendo gerado pelo próprio fio. Assim:
Onde é o raio do fio. Dessa forma:
Podemos calcular a temperatura na interface entre o cabo e o plástico utilizando o conceito de resistência térmica, onde:
Onde é a resistência térmica de condução através do isolante de raio externo , dada por:
Dessa forma:
Passo 2
Temperatura no centro do cabo.
Para calcular a temperatura no centro do cabo, vamos ter que resolver a equação de calor para o sistema com geração de energia.
A equação de calor para sistemas cilíndricos, considerando que regime permanente será dada por:
Onde, como condições de contorno, temos fluxo térmico nulo no centro do fio e temperatura constante para . Dessa forma:
Integrando a equação calor, teremos:
Utilizando a nossa primeira condição de contorno, temos que .
Integrando novamente a equação:
Utilizando a segunda condição de contorno:
Assim:
Como queremos saber a temperatura no centro, para :
Passo 3
O revestimento plástico reduz ou aumenta a temperatura na superfície do cabo? Justifique sua resposta.
O revestimento não interfere na temperatura do cabo porque ele não dá, nem retira calor. O revestimento na verdade irá interferir na taxa de transferência de calor do sistema.
Resposta
O revestimento não interfere na temperatura na superfície do cabo.