Um tubo de diâmetro interno igual a e espessura igual a , tem comprimento igual a . Uma resistência elétrica gera calor dentro da parede do tubo a uma taxa igual a:
A parede externa do tubo perde calor para o ambiente, que está a e transfere calor para o fluido interno, a uma taxa igual a . Considere regime permanente e condução apenas na direção radial.
Determine:
A distribuição de temperaturas na parede do tubo.
O fluxo de calor por condução ao longo do raio (em W).
A posição onde ocorre a temperatura máxima da parede.
Passo 1
A distribuição de temperaturas na parede do tubo.
A equação de calor para sistemas cilíndricos é dada por:
Considerando regime permanente e condução apenas na direção radial, teremos:
Partiu resolver essa equação diferencial:
Integrando dos dois lados:
Onde .
Integrando novamente dos dois lados:
Passo 2
Para descobrir os valores de e , basta utilizar as condições de contorno, onde há convecção na parede externa e um fluxo térmico constante na parede interna, logo:
Dessa forma, utilizando a primeira condição de contorno:
Utilizando a segunda condição de contorno:
Finalmente, a distribuição de temperatura é dada por:
Passo 3
O fluxo de calor por condução ao longo do raio (em W).
O fluxo de calor é dado por:
Derivando a expressão da temperatura que acabamos de encontrar:
Mas aí, repara que o fluxo de calor é dado em . E o que ele quer é em . Então temos que multiplicar esse cara pela área interna, que é:
Então:
Passo 4
A posição onde ocorre a temperatura máxima da parede.
A posição será dada por:
Dessa forma:
Resposta