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Exercícios Resolvidos de Dependência Linear e Wronskiano

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Exercício 41235678910

Enunciado

Classifique como Verdadeira ou falsa a afirmação abaixo, justificando sua escolha.

Todas as soluções da equação diferencial

t 2 y ' ' - 2 y = 0 ,   t > 0

São dadas pela fórmula y t = C 1 t 2 + C 2 t - 1 , onde C 1 e C 2 são constantes.

Passo 1

Opa! Tudo joia?

Olha só, vamos pensar do seguinte: para duas funções serem soluções de uma EDO, elas precisam ser linearmente independentes.

Então, vamos checar se t 2   e   t - 1 são soluções da EDO e depois veremos se elas são Linearmente Independentes...

Vamos começar vendo se t 2 é solução. Temos que:

y 1 t = t 2

y 1 ' t = 2 t

y 1 ' ' t = 2

Substituindo na equação

t 2 2 - 2 t 2 = 0

2 t 2 - 2 t 2 = 0

Beleza ele é solução.

Passo 2

Agora, vamos ver se t - 1 também vai ser

y 2 t = t - 1

y 2 ' t = - t - 2

y 2 ' ' t = 2 t - 3

Substituindo na equação

t 2 2 t - 3 - 2 t - 1 = 0

2 t - 1 - 2 t - 1 = 0

Pronto, as duas funções são soluções, precisamos ver agora se elas são soluções linearmente independentes.

Passo 3

Para ver se são linearmente independentes temos que calcular o Wroskiano e ver se ele é ou não zero.

O Wroskiano é o determinante abaixo

W = y 1 y 2 y 1 ' y 2 '

Substituindo nossas funções e suas derivadas:

W = t 2 t - 1 2 t - t - 2

= t 2 - t - 2 - 2 t t - 1

Com isso teremos multiplicações de potências bases iguais, então nós repetimos a base e somamos os expoentes:

= - t 2 + - 2 - 2 t 1 + - 1

= - t 0 - 2 t 0

Como todo número elevado a zero é igual a 1 , ficamos com:

= - 1 - 2

= - 3 ≠ 0

Como o Wroskiano é diferente de 0 , podemos dizer que as duas funções são soluções linearmente independentes e a solução da função vai ser

y t = C 1 t 2 + C 2 t - 1

Logo essa afirmação é verdadeira! 😉

Resposta

Verdadeira.