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Exercícios Resolvidos de Dependência Linear e Wronskiano

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Exercício 31245678910

Enunciado

Verifique se o conjunto de funções dado é linearmente independente. Se for linearmente dependente determine a relação de dependência entre elas.

2 x - 3 ,                 x 3 + 1 ,                 2 x 2 - x ,                 x 2 + x + 1

Passo 1

Opa! Vamos ver mais essa aqui?

Para determinar a relação de dependência entre as funções, precisamos calcular o wronskiano, que é assim:

W = f 1 f 1 ' f 1 ' ' f 1 ' ' '       f 2         f 2 '         f 2 ' '         f 2 ' ' '       f 3       f 3 '         f 3 ' '           f 3 ' ' '           f 4           f 4 '           f 4 ' '           f 4 ' ' '

Para isso, precisamos determinar as derivadas das funções:

f 1 = 2 x - 3 ;                 f 2 = x 3 + 1 ;                   f 3 = 2 x 2 - x ;                   f 4 = x 2 + x + 1

Derivando:

f 1 ' = 2 ;               f 2 ' = 3 x 2 ;                   f 3 ' = 4 x - 1 ;               f 4 ' = 2 x + 1

f 1 ' ' = 0 ;                   f 2 ' ' = 6 x ;                     f 3 ' ' = 4 ;                   f 4 ' ' = 2

f 1 ' ' ' = 0 ;               f 2 ' ' ' = 6 ;             f 3 ' ' ' = 0 ;           f 4 ' ' ' = 0

Passo 2

Então, o wronskiano será dado pelo determinante de:

W 2 x - 3 , x 3 + 1 ; 2 x 2 - x ; x 2 + x + 1 = 2 x - 3 x 3 + 1 2 x 2 - x x 2 + x + 1 2 3 x 2 4 x - 1 2 x + 1 0 6 x 4 2 0 6 0 0

Podemos calcular o wronskiano, utilizando o método de Laplace

W = a 11 A 11 + a 21 A 21 + a 31 A 31 + a 41 A 41

W = 2 x - 3 A 11 + 2 A 21 + 0 A 31 + 0 A 41

A 11 = - 1 2 3 x 2 4 x - 1 2 x + 1 6 x 4 2 6 0 0  

A 11 = - 36

A 21 = - 1 3 x 3 + 1 2 x 2 - x x 2 + x + 1 6 x 4 2 6 0 0

A 21 = 36 x + 24

Então

W = 2 x - 3 - 36 + 2 ( 36 x + 24 )

w = - 72 x + 108 + 72 x + 48

W = 156

O wronskiano é diferente de 0. Logo, as funções são linearmente independentes.

Resposta