Identifique o valor de entre os pontos do intervalo , onde as funções são linearmente dependentes.
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Passo 1
Opa, vamos lá?
A questão quer saber para qual valor de as nossas funções , , são linearmente dependentes.
Bom, podemos usar o teorema do Wronskiano para nos ajudar aqui, pois quando as funções são linearmente dependentes, wronskiano é igual a zero. Então, partiu usar essa informação.
A carinha do Wronskiano é a seguinte:
As nossas funções são:
Precisamos das derivadas delas agora...
Passo 2
Essa derivadas são bem tranquilas né? Vai ficar assim:
E derivando de novo...
Feito isso, podemos substituir nossas funções lá no cálculo do Wronskiano, e fazer o determinante:
Passo 3
Como é uma matriz , nós copiamos as duas primeiras colunas do lado direito e fazemos a multiplicações na diagonal.
Podemos colocar em evidência:
E usando a identidade trigonométrica:
Temos:
Agora vamos usar aquela informação que vimos lá no começo. Para as funções serem linearmente dependentes, o valor do Wronskiano deve ser zero. Logo,
Logo, temos que !