Identifique o valor de t entre os pontos do intervalo [-pi, pi] , onde as funções { t, sen t, cos t } são linearmente dependentes.

( ) pi

( ) - pi

( ) pi / 4

( ) 0

( ) pi / 3

Passo 1

Opa, vamos lá?

A questão quer saber para qual valor de t as nossas funções t , sen ⁡ t , cos ⁡ t são linearmente dependentes.

Bom, podemos usar o teorema do Wronskiano para nos ajudar aqui, pois quando as funções são linearmente dependentes, wronskiano é igual a zero. Então, partiu usar essa informação.

A carinha do Wronskiano é a seguinte:

W = f 1 ( x ) f 2 ( x ) f 3 ( x ) f ' 1 ( x ) f ' 2 ( x ) f ' 3 ( x ) f ' ' 1 ( x ) f ' ' 2 ( x ) f ' ' 3 ( x )

As nossas funções são:

f 1 = t ;     f 2 = sen ⁡ t ;     f 3 = cos ⁡ t

Precisamos das derivadas delas agora...

Passo 2

Essa derivadas são bem tranquilas né? Vai ficar assim:

f 1 = t ;     f 2 = sen ⁡ t ;     f 3 = cos ⁡ t

f 1 ' = 1 ;       f 2 ' = cos ⁡ t ;     f 3 ' =   - sen ⁡ t

E derivando de novo...

f 1 ' ' = 0 ;     f 2 ' ' =   - sen ⁡ t ;     f 3 ' ' =   - cos ⁡ t

Feito isso, podemos substituir nossas funções lá no cálculo do Wronskiano, e fazer o determinante:

W = t sen ⁡ t cos ⁡ t 0 cos ⁡ t - sen ⁡ t 0 - sen ⁡ t - cos ⁡ t

Passo 3

Como é uma matriz 3 × 3 , nós copiamos as duas primeiras colunas do lado direito e fazemos a multiplicações na diagonal.

= - t cos 2 ⁡ t - t sen 2 ⁡ t

Podemos colocar - t em evidência:

= - t ( cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t )  

E usando a identidade trigonométrica:

cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t = 1

Temos:

W = - t

Agora vamos usar aquela informação que vimos lá no começo. Para as funções serem linearmente dependentes, o valor do Wronskiano deve ser zero. Logo,

W = - t = 0

t = 0

Logo, temos que t = 0 !

Resposta

t = 0

Exercícios Resolvidos de Dependência Linear e Wronskiano

Ver Teoria