Exercícios Resolvidos de Dependência Linear e Wronskiano

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Enunciado

Determine se as funções dadas são linearmente dependentes ou linearmente independentes no intervalo - ∞ , ∞

f 1 x = x ,   f 2 x = x 2 , f 3 x = 4 x - x 2

Passo 1

Fala aí, tudo joia?

Olha só, nossas funções serão linearmente dependentes caso seja possível escrever uma combinação linear com essas 3 funções que resulte em zero, escrevendo assim:

k 1 f 1 x + k 2 f 2 x + k 3 f 3 x = 0  

Com pelo menos uma das 3 constantes diferentes de zero.

Vamos e conferir se a combinação linear é possível.

Passo 2

Vamos começar substituindo as funções ali na nossa equção...

Temos então:

k 1 ( x ) + k 2 ( x 2 ) + k 3 ( 4 x - x 2 ) = 0  

k 1 x + k 2 x 2 + 4 k 3 x - k 3 x 2 = 0

Ajeitando temos:

k 1 x + k 2 x 2 = - 4 k 3 x + k 3 x 2

Aí olha só, pra esses dois lados serem iguais, temos que igualar os termos de mesmo grau.

Do termo de expoente 1, podemos ver que:

k 1 = - 4 k 3

Do termo elevado ao quadrado temos:

k 2 = k 3

Passo 3

Agora vamos substituir as constantes na equação k 1 x + k 2 x 2 + 4 k 3 x - k 3 x 2 = 0   :

Todas em função de k 3

k 1 x + k 2 x 2 + 4 k 3 x - k 3 x 2 = 0

- 4 k 3 x + k 3 x 2 + 4 k 3 x - k 3 x 2 = 0

Ao fazer essa substituição, o que acontece com o lado esquedo da é quação é que os termos se cancelam, e ficamos com:

0 = 0

Portanto provamos que f 1 x ,   f 2 ( x ) e f 3 ( x ) são linearmente dependentes, pois quaisquer k 1 ,   k 2   e   k 3 satisfazem a equação de combinação linear😊

Resposta

f 1 ,   f 2 e f 3 são Linearmente dependentes.