Determine se as funções dadas são linearmente dependentes ou linearmente independentes no intervalo
Passo 1
Olá! Tudo bem?
Olha só, para que e sejam linearmente dependentes, temos de ter:
Para todo , com pelo menos uma das constantes diferente de zero.
Como tem um módulo de em uma das nossas funções, precisamos ter cuidadod para satirfazer essa condição. Ou seja, essa equação deve ser satisfeita para , que é o mesmo que , e para , que é mesmo que .
Passo 2
Sendo:
Para o caso onde , não é necessário a utilização do módulo em . Com isso:
E teremos:
Então, nesse intervalo elas são linearmente dependentes.
Porém estamos analisando todo o intervalo .
Então vamos seguir...
Passo 3
Vamos analisar a situação :
Para , teremos que acrescentar o sinal de ao módulo de em , como isso:
Então substituindo as equações em:
Fica:
Ajeitando:
Passo 4
Igualando o termo constante do lado esquerdo com o do lado direito temos:
A única possibilidade é:
O que não satisfaz as condições para dependência linear pois para isso seria necessário que pelo menos uma das constantes fosse diferente de zero.
Por causa disso, concluímos que no intervalo de , elas são linearmente independentes.
Logo, e não são linearmente dependentes em , sendo então linearmente independentes😉
Resposta
e são Linearmente independentes.