Exercícios Resolvidos de Derivação Numérica

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Enunciado

Os dados do último exercício foram tirados das funções abaixo. Calcule o erro absoluto das suas aproximações do exercício 1 e encontre limitantes para o erro.

a f x = sin ⁡ x

b f x = e x - 2 x 2 + 3 x - 1

Passo 1

a Relembrando as aproximações que encontramos no último exercício:

f ' 0.5 ≅ 0.852

f ' 0.6 ≅ 0.796

f ' 0.7 ≅ 0.796

O valor exato vai ser:

f x = sin ⁡ x

f ' x = cos ⁡ x

f ' 0.5 = 0.87758

f ' 0.6 = 0.82534

f ' 0.7 = 0.76484

E A f ' 0.5 = 0.852 - 0.87758 = 0.02558

E A f ' 0.6 = 0.796 - 0.82534 = 0.02934

E A f ' 0.7 = 0.796 - 0.76484 = 0.03116

Passo 2

Agora temos que encontrar o limitante para o erro usando a fórmula

E ≤ h 2 ∙ max x ∈ a , b ⁡ f ' ' x

Onde f ' ' x = - sin ⁡ x e tem seu módulo máximo no intervalo 0.5,0.6 em x = 0.6 e seu módulo máximo no intervalo 0.6,0.7 em x = 0.7 :

f ' ' 0.6 = 0.56464

f ' ' 0.7 = 0.64422

Substituindo nas fórmulas:

E A f ' 0.5 ≤ 0.1 2 ∙ 0.56464 = 0.028232

E A f ' 0.6 ≤ 0.1 2 ∙ 0.64422 = 0.032211

E A f ' 0.7 ≤ 0.1 2 ∙ 0.64422 = 0.032211

Passo 3

Organizando numa tabelinha:

Passo 4

b As aproximações que encontramos no último exercício foram:

f ' 0 ≅ 3.707

f ' 0.2 ≅ 3.152

f ' 0.4 ≅ 3.152

O valor exato vai ser:

f x = e x - 2 x 2 + 3 x - 1

f ' x = e x - 4 x + 3

f ' 0 = 4

f ' 0.2 = 3.4214

f ' 0.4 = 2.8918

E A f ' 0 = 3.707 - 4 = 0.293

E A f ' 0.2 = 3.152 - 3.4214 = 0.2694

E A f ' 0.4 = 3.152 - 2.8918 = 0.2602

Passo 5

Agora vamos encontrar o limitante para o erro usando a fórmula

E ≤ h 2 ∙ max x ∈ a , b ⁡ f ' ' x

Onde f ' ' x = e x - 4 e tem seu módulo máximo no intervalo 0,0.2 em x = 0 e seu módulo máximo no intervalo 0.2,0.4 em x = 0.2 :

f ' ' 0 = 3

f ' ' 0.2 = 2.7786

Substituindo nas fórmulas:

E A f ' 0 ≤ 0.2 2 ∙ 3 = 0.3

E A f ' 0.2 ≤ 0.2 2 ∙ 2.7786 = 0.27786

E A f ' 0.4 ≤ 0.2 2 ∙ 2.7786 = 0.27786

Passo 6

Organizando numa tabelinha:

Resposta

a

b

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27. Deduza a aproximação (2) para y ' ' ( x i ) usando a aproximação de y ( x ) por p 2 ( x ) conforme sugerido no texto.