Exercícios Resolvidos de Derivação Numérica

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Enunciado

Seja f x = 3 x e x - c o s ⁡ ( x ) . Calcule uma aproximação para f ' ' ( 1.3 ) .

  1. Considere h = 0.1
  2. Considere h = 0.01

Passo 1

Faaa aeee, a primeira coisa que você precisa lembrar é da fórmula da derivada segunda numérica, que tá lá no finalzinho da teoria, e é essa aqui:

f ' ' x 0 = f x 0 + h - 2 * f x 0 + f ( x 0 - h ) h 2

Se a gente prestar bem atenção na fórmula, precisamos da função tabelada em 3 pontos, certo?

Para fazermos a derivada segunda precisamos do valor da f em x 0 , em x 0 + h , e em x 0 - h . Então bora já constuir a tabela do item a e b de uma vez.

Pro item a, com passo h = 0.1 , precisaremos de f ( 1.2 ) , f ( 1.3 ) e f ( 1.4 ) . Já para o caso do item b, vamos precisar de f ( 1.29 ) , f ( 1.30 ) e f ( 1.31 )

Só precisamos agora substituir esses valores de x na f ( x ) que o professor deu no enunciado.

Tabela para o item a:

Tabela para o item b:

Passo 2

Resolvendo o item (a), a gente só precisa agora substituir os valores na fórmula da derivada segunda, blz?

f ' ' 1.3 = f 1.4 - 2 * f 1.3 + f 1.2 h 2

f ' ' 0.4 = 16.86187 - 2 * ( 14.04276 ) + 11.59006 ( 0.1 ) 2 = 36.641

Passo 3

Para o item (b):

f ' ' 1.30 = f 1.31 - 2 * f 1.30 + f 1.29 h 2

f ' ' 0.6 = 14.30741 - 2 * 14.04276 + 13.78176 ( 0.1 ) 2 = 36.5

Resposta

f ' ' ( 1.3 ) = 36.641

f ' ' 1.30 = 36.5

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27. Deduza a aproximação (2) para y ' ' ( x i ) usando a aproximação de y ( x ) por p 2 ( x ) conforme sugerido no texto.