Calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
Passo 1
Faaaaaaaaala ai! Vambora pra mais uma questão de derivadas parciais!
Vamos lá, aquele trabalho braçal de derivar. Coragem, amigos
Começando pelas derivadas primeiras:
Passo 2
Bora começar com a derivada parcial em relação a (lembrando que tudo que não tem é considerado constante!!)
Fácil, né?
Agora para a derivada parcial em relação a vai ser um pouuuco mais chatinho. Vamos precisar usar a regra do produto e a regra da cadeia, tá bem?
Lembrando elas rapidinho
- Regra do produto
- Regra da cadeia
Vamo pra nossa função!
Pela regra do produto (e tirando a constante x), ficamos com
Show pra derivar é de boinhas e para derivas vamos usar a regra da cadeia, ficando com
Isso nos dá
Podemos juntar os e somar os expoentes!
Passo 3
Agora vamos para as derivadas segundas.
De novo, essa foi easy game, né?
Já para fazer a segunda derivada em relação a vamos de novo ter que usar regra do produto e da cadeia.
Lembrando que tudo que não tem é constanteeeeee! Temos, usando o mesmo caminho do passo anterior que isso dá
Ajeitando isso daí ficamos com:
Passo 4
Beleza, mas ainda não acabaram as nossas derivadas segundas, não é mesmo?
Ainda faltam as derivadas parciais mistas.
Vamos lá.
Como a questão pediu pra gente calcular todas as derivadas parciais de segunda ordem, vamos calcular as duas derivadas parciais mista da nossa função.
Vamos começar pegando a derivada parcial em relação a e derivando em relação a :
Regra do produto + regra da cadeia:
Ajeitando isso daí,
Show.
Agora vamos fazer o contrário: pegar a derivada parcial em relação a e derivar em relação a :
Derivando em relação a