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Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais e Derivadas de Ordem Superior

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Exercício 81234567910

Enunciado

Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função:

f x , y , z = x 2 y - 3 x y 2 + 2 y z

Passo 1

Vamos começar fazendo a derivada parcial em relação a x , ou seja, ∂ f ∂ x para isso consideramos y e z constantes:

∂ f ∂ x = x 2 y ' - 3 x y 2 ' + 2 y z '

∂ f ∂ x = y x 2 ' - 3 y 2 x + 2 y z ( 1 ) '

Agora que já tiramos as constantes é só integrar e partir pro abraço, ficamos com isso aqui

∂ f ∂ x = 2 x y - 3 1 y 2 + 0

⇒ ∂ f ∂ x = 2 x y - 3 y 2

Passo 2

Para calcular ∂ f ∂ y consideramos x e z constantes:

∂ f ∂ y = x 2 y ' - 3 x y 2 ' + 2 y z '

∂ f ∂ y = x 2 y ' - 3 x y 2 ' + 2 z y '

∂ f ∂ y = x 2 1 - 3 x 2 y + 2 z 1

⇒ ∂ f ∂ y = x 2 - 6 x y + 2 z

Passo 3

Para calcular ∂ f ∂ z consideramos x e y constantes:

∂ f ∂ z = x 2 y ' - 3 x y 2 ' + 2 y z '

∂ f ∂ z = x 2 y 1 ' - 3 x y 2 1 ' + 2 y z '

∂ f ∂ z = 0 - 0 + 2 y ( 1 )

⇒ ∂ f ∂ z = 2 y

Resposta

∂ f ∂ x = 2 x y - 3 y 2

∂ f ∂ y = x 2 - 6 x y + 2 z

∂ f ∂ z = 2 y